Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
( а\\ ( а\а2 2 Л
У3+ [а2--Y) у + \аз--з~~ + 27«? J=O.
а\ аха2 2 Обозначив а2--§" = Р> аз--3—\-^f а\ = Я> придем к уравнению
У3 + РУ + Я = 0.
Для дальнейшего исследования нужна следующая элементарная лемма: существует пара чисел а и ? с наперед заданными суммой а -f- ? = а и произведением a? = b. Именно, эти числа являются корнями квадратного уравнения z2— az + b = 0.
Положим теперь у = a + ?. Уравнение примет вид a3 -f- 3a2? -f-+ 3a?2 + ?3 + p(a + ?)+o = 0 или а3 + ?3 + (3a? + p) (a + ?) + + Я = 0.
Положим 3a? + p = 0. Тогда a3 + ? + я = 0. Ясно, что если a3 + ?3 + о = 0 и 3a? -4-/7 = 0, то г/ = а -4- ? будет удовлетворять уравнению у3 -4- ру + Я = 0. Таким образом, нам нужно решить систему
a3+?3 = -Я, 3a?= — р.
„3
Возведем второе уравнение в куб: a3?3 = — -^-. Мы получили,
что для а3 и ?3 известны сумма и произведение. Поэтому числа а3 и ?3 находятся как корни квадратного уравнения
z2 + 9z--g- = 0,
откуда
Для у получается так называемая формула Кардано:
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИИ ТРЕТЬЕЙ И ЧЕТВЕРТОЙ СТЕПЕНИ
63
Для каждого из кубических корней в поле комплексных чисел имеются три значения и для обоих корней имеется девять комбинаций. Однако из них нужно сохранить только те, для которых
a?=--1-, т. е. брать ? = —-^. Обозначим через a>i и со2 первообразные кубические корни из 1, т. е. O1 = —-f-i-^j-. Cu2 =
1 . JW по -
= — — — г-*2"-• Пусть см и ?i — одна подходящая пара значении
для а и ?. Остальные значения для а будут aicoi и а,ш2, соответствующие значения для ? будут P1Oi2 и ?iffli. Поэтому формула Кардано дает три корня уравнения:
У\ =«i + ?i. г/2 = Ct1CO1 + P1CO2,
^3 = Ct1CO2+ ? ,CO1.
Пример 1. г/3 + (3 —Зг)г/ + (—2 + г) = 0.
=Vі-4+V-T^+Vі-т - V-T-*-
-V^t+o'-O + V^t-W'-O-
= V + ^2 —2г. При извлечении кубических корней нужно помнить, что их произведение должно равняться — у = —1 + г. Поэтому, взяв для первого корня значение —і, для второго нужно взять —1—L Корни данного уравнения суть:
г,, = -/ + (-і-0 = -1-а,
у2 = _ JtO1 + (-1 — i) Co2 =- + (р^- + l)г,
«/3=-^2 + (-1-/)0),= 2+(-^-+
Пример 2. г/3 — 9гу + 28 = 0. у= л/- 14+ V142- З3+ У— 14-Vl42 - З3 =
' = ^ЇЇ+Тз +V-14- 13 =^^1 + ^-27.
64
ПРОСТЕГШИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ АЛГЕБРЕ ПОЛИНОМОВ
[ГЛ. III
Нужно помнить, что произведение кубических корней должно равняться —-|- = 3, так что, взяв для первого корня значение —1, для второго нужно взять —3. Корни данного уравнения суть:
0, = -1-3 = -4,
г/г = — иі — Зо)2 = 2 + і УЗ,
Уз = — «г — 3(O1 = 2 — і УЗ.
Данный пример решился очень благополучно, что является скорее исключением, чем правилом, как будет видно из дальнейшего исследования.
2. Исследование формулы Кардано. Проведем исследование формулы Кардано в предположении, что коэффициенты р и q уравнения ys-\-ру-\-q = 0 являются действительными числами.
Из вида формулы
»-У-*+У* + # + ^-*-У-?+€
о2 , р3
ясно, что знак выражения 4+27 должен оказывать существенное влияние на характер корней уравнения. Рассмотрим три случая.
Случай I. —1—> 0. В этом случае числа —-|- -f-
+ д/-^- + и —I ~ л/"4~ "2У 0^3 Действительные и они различны. Если значение осі первого кубического корня взято действительным, то и для второго корня нужно взять тоже действительное значение ?b так как их произведение должно быть действительным числом — -J. Таким образом, в этом случае корни будут
У\=Щ+ ?i,
У2 = а,», + P1Co2 = - + «LTiL f уз,
у3 = «,Co, + ?.co, = - UL±iL - і у з.
Следовательно, ^1—действительный корень, t/2 и г/з — комплексно сопряженные не действительные корни, ибо OCi Ф ?l-
Случай 2. "V "ff = В этом случае числа —-| -+-
V2 З і 2 3
-j- + -ff и —-f—Д/4 +27 действительные, но равные.
Действительному значению ai первого кубического корня должно соответствовать действительное же значение ?i второго, и на этот раз ai = ?i. Комплексные же значения кубических корней нужно
решение уравнений третьей и четвертой степени
65
подбирать по прежнему правилу, обеспечивающему равенство a?—f
Итак: г/, = ai + ?! = 2а,,
W2 = O1(O1+ = — щ,
IZ3 = O1Co2+? j(u1 = —a,.
В этом случае все три корня действительны, но среди них имеются два равных.
Случай 3. 4+2f<0- Это возможно только при отрицательном р. Пусть р = —рь где P1 > 0. В этом случае под знаками кубических корней окажутся сопряженные комплексные числа
-т + ' V 27и -т-'V гг- —¦
ц
Для извлечения кубического корня запишем число--J +
V-3 J? -^-—J- в тригонометрической форме: r (cos ср + / sin ф).
Имеем:
= + W4~4)~W' со., —sin<p>0.
Отсюда
з
a= y-T + i Vir—T = ''ЧС08—з-+/sin-3-J~
= д/Z (cos JLUiSL + і sin u±2bL),
где ? = 0, 1, 2. В этом случае a?=-^-, откуда
?1
- д/^ (cos - / sIn Ii*).
Таким образом, ? оказывается числом, сопряженным с а, в чем можно было убедиться из того соображения, что произведение a?
должно равняться действительному числу -?-— Jap.
