Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
1. (а0, аь ак, ...) = (b0, b\, bk, ...) тогда и только тогда, когда а( = bi, і = 0, 1, ..., k, ...
II. (а0, аи ак, ...) + (00, Ьи .... Ьк, ...) = (а0 + 6о, «і + + Ьи ак + Ьк, ...).
Ясно, что требование об обращении в нуль всех членов, начиная с некоторого, сохраняется при сложении.
III. (а0, аи • ак, ...)(Ь0, Ьи .... bh, ...) = (a0b0, a0bi + + аф0, афк + O1O^i + ... + акЬ0, ...).
Здесь тоже сохраняется требование об обращении в нуль всех членов, начиная с некоторого места.
Легко проверяется коммутативность и ассоциативность сложения и умножения и дистрибутивность умножения со сложением. Далее, ясно, что (а, 0, О, ...) + (&, О, О, ...) = (а + &, О, ..., 0, ...) и (а, 0,..,,0,,..)(6,0,...,0,...) = (ab, 0, ... .. ., 0, ...), и, более общо, (а, 0, .. ., О, ...) (b0, bu . .., Ьк, .. .) = = (ab0, abu аЬк, ...).
IV. а е Л отождествляется с последовательностью (а, 0, ... О, ...).
Легко проверяется, что аксиома IV не находится в противоречии с первыми тремя.
Рассмотрим теперь последовательность (0, 1, 0, ..., 0, ...), обозначив ее буквой х. Тогда х2 = (0, 0, 1, 0, ..., 0, ...) и т. д. Поэтому
(а0, аи а2, а„, 0, ...) = (а0, 0, 0, ... О, ...) +
+ (О, аь 0, О, 0, ...)+ ... +(O1 0, ап, 0, ...) = = ао + аі(0, 1, 0, ...)+а2(0, 0, 1, 0, ...)+ ... .-.. + ап(0, 0, ..., 1, 0 ...) = а0 + а ix + а2х2 + ... + апхп.
Таким образом, нам удалось построить элементы кольца полиномов.
2. Высший член и степень полинома. Пусть f (х) = а0хп + + аххп-1 + ... + ап, причем а0=5^0. Одночлен а0хп называется высшим членом полинома f(x) и показатель п называется степенью f(x) и обозначается degf. Нулевой полином не имеет в ые-
56
ПРОСТЕЙШИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ АЛГЕБРЕ ПОЛИНОМОВ
[ГЛ. III
шето члена в смысле данного определения и считается, что он равен 0. Степень нулевого полинома условно считается равной символу —со.
Предположим теперь, что кольцо А есть область целостности, т. е. что произведение двух элементов из А может равняться нулю, только если один из сомножителей равен нулю.
Пусть даны два полинома f(х) = а0хп-\- а\хп~х + ...+«„ и g(x) = b0xm + bixm~l + ... + bm из кольца А[х], причем а0ф0 и ЬофО. Тогда произведение f{x)g(x) содержит ненулевой одночлен aoxn'boxm = аоЬ0хп+т, который будет, очевидно, высшим членом для f(x)g(x), ибо остальные произведения членов 1(х) на члены g(x) имеют меньшую чем n + m степень.
Отсюда непосредственно следует справедливость следующей важной теоремы:
Теорема 1. Если кольцо А есть область целостности, то кольцо полиномов А [х] — тоже область целостности.
В частности, кольцо полиномов над полем есть область целостности.
Из формы высшего члена произведения двух ненулевых полиномов следует, что степень произведения двух полиномов (над областью целостности) равна сумме степеней сомножителей. Это свойство сохраняется и в случае, когда один или оба сомножителя равны 0, если только условиться в правилах: (—?») + (—со) = =—со, (—оо) + k = —со при любом k.
3. Степени элемента в ассоциативном кольце. Пусть В — некоторое ассоциативное кольцо и а — его элемент. Введем в рассмотрение степени а с натуральными показателями согласно следующим определениям: а1 = а, а2 = а-а, а3 = а2-а, а* = = ай-1-а. Здесь степени определяются одна за другой и k-я степень определяется после того, как (k— 1)-я уже определена. Определения такого типа называются индуктивными.
Теорема 2. При натуральных k и m имеет место akam = ah+m.
Доказательство. Если m = 1, утверждение теоремы верно согласно определению. При m > 1 обратимся к методу математической индукции, допустив, что утверждение верно при сумме показателей, меньшей k-j-m. Итак, пусть m > 1. Тогда am = ат~1а и akam = ak(am-1a) = (akam~l)a в силу ассоциативности. Далее, akam-i _ ak+m-i в СИЛу индуктивного предположения и, наконец, (ak+m-l)a = ak+m в силу определения степени, что и требовалось доказать.
Из теоремы следует, в частности, что а3 = а2а = аа2, а4 = = а3а = а2а2 = аа3, и т. д.
Степени элемента а коммутируют при умножении, ибо ak-am =
.__ ak+m __ am+k _ Qm,Qk^
4. Значение полинома. Пусть В — ассоциативное кольцо, содержащее кольцо А в своем центре, т. е. элементы кольца А коммутируют со всеми элементами из В, и пусть единицей кольца В
ПОЛИНОМЫ ОТ ОДНОЙ БУКВЫ
является единица кольца А. В частности, кольцо В может совпадать с кольцом А.
Пусть ce? и пусть дан полином f (х) = аохп + а\хп~х + ... ... + ап- Значением полинома f в с (или, с некоторой вольностью-языка, при X = с) называется элемент
/(C)=OoC-T-OiC-1+ ... +а„
кольца В.
Легко получаются следующие свойства:
если F (X) = U (X) + І2 (х), то F (с) = /, (с) + I2 (с)
и
если Ф (X) = Д (х) I2 (х), то Ф(с) = /, (с) I2 (с).
Действительно, для одночленов это очевидно, а действия над. полиномами определяются через действия над составляющими их. одночленами.
Из сказанного следует, что значения полиномов из А[х] в одном и том же элементе ce? коммутируют при умножении, и их множество, обозначаемое через А [с], есть коммутативное под-кольцо ассоциативного, но не обязательно коммутативного-кольца В.
