Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
5. Линейное отображение евклидова пространства в евклидово. Теория линейных отображений евклидова пространства в евклидово ничем не отличается от теории отображений унитарных пространств с заменой унитарных преобразований координат на ортогональные. Имеет место такая же каноническая форма, существует обобщенный обратный оператор, играющий такую же роль, как в комплексном случае, для систем линейных уравнений с вещественными коэффициентами.
§ 8. Объем параллелепипеда в евклидовом пространстве
1. Квадрат объема в общем случае. Параллелепипедом, натянутым на пг линейно независимых векторов v\, v2, ..., vm в n-мерном евклидовом пространстве, называется множество векторов t\V\-{- t2v2-\- ... -\-tmVm при tt, независимо изменяющимися на отрезке [0,1]. Назовем (пг — 1)-мерный параллелепипед, натянутый на векторы уь V2, vm-u основанием параллелепипеда, а расстояние от вектора vm до подпространства, натянутого на Vu V2, Vm-u — высотой параллелепипеда.
«Объемом» одномерного параллелепипеда {tv\} называется длина вектора v\. Для больших размерностей объем определяется индуктивно, как объем основания, умноженный на высоту.
ОБЪЕМ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА
37S
Теорема 1. Квадрат объема параллелепипеда равен определи Vj) ... (Vi, Vm-l) (Vi, vm)
лителю Грама G =
(Vm, Vm-i) (Vm, Vn)
СОвОКуП-
ІРт, Vi)
HOCTU векторов Vi, . . . , Vm-U Vm-
Доказательство проведем индукцией по числу m векторов. Для m = 1 это верно, ибо |Ui|2 = (vi, vi). Допустим, что это верно для совокупности из m — 1 векторов.
Пусть у — ортогональная проекция вектора vm на ортогональное дополнение к подпространству Р, натянутому на V1, ¦ - -, vm-\. Эта проекция осуществляется параллельно подпространству Р, так
ЧТО у = Vm + CiU1 4- ... + am-\Vm-l При НвКОТОрЫХ U1, .... flm-1,
и у ортогонален к векторам уь vm-\-
Прибавим к последнему столбцу определителя G предшествующие, умноженные на ах, am-\- В силу линейности скалярного произведения по второму аргументу, мы получим в последнем столбце числа (v\, у), (vm-u у), (Vт, у), из которых первые т — 1 равны нулю. Последний элемент (vm, у) последнего столбца равен (y — aiVi— ... —am-ivm-\, У) = (у, у) = \у\2-
Длина вектора у равна высоте параллелепипеда, согласно определению расстояния от вектора до подпространства. Таким обра-
(Vi, Vi) ... (Vi, l>m_i)
зом, G = | у f
Vi)
(Vn
Последний определитель,
согласно индуктивному предположению, есть квадрат объема основания. Следовательно, G равен квадрату объема рассматриваемого параллелепипеда, что и требовалось доказать.
2. Объем л-мерного параллелепипеда в л-мерном евклидовом пространстве. Пусть Vi, V2, Vn — линейно независимая совокупность векторов в л-мерном пространстве, и пусть матрица
A = I
'ац Ui2 ... Uin
a2l O12 ••• 0.2П
имеет своими столбцами координаты векторов v\, v2, Vn относительно некоторого ортонормального базиса е\, е2, еп. Тогда? элемент gij матрицы G = A1A равен ацац + a2ia2i 4-...4- anianj = = (vi, Vj), т. е. матрица G = A1A есть матрица Грама для совокупности векторов v\, v2.....vn. Имеем det G = det ЛТЛ = (det А)2.
Таким образом, квадрат объема параллелепипеда равен квадрату определителя матрицы А и, следовательно, объем параллелепипеда равен абсолютной величине det А.
Вскроем геометрический смысл знака определителя матрицы А. Скажем, что совокупность векторов vi, v2, ..., Vn ориентирована так же, как базис еие2, еп, если <МЛ>0, и ориентирована: противоположным образом, если det Л •< 0.
376
ЕВКЛИДОВО И УНИТАРНОЕ ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ. XItI
Скажем, что базис Vi, v2, Vn получается непрерывной деформацией из базиса ех, е2, еп, если существует матрица A(t), элементы которой непрерывно зависят от параметра Z, меняющегося на отрезке [0,1], такая, что A(O) = E и A(I) = A, где А — матрица из координат векторов vi, v2, vn, причем det A(Z) =,^=0 при всех значениях Z.
Покажем, что если базис v\, v2, v„ имеет одинаковую -ориентацию с базисом еи е2, еп, то существует непрерывная деформация, переводящая е\, е2, ..., еп в vi, v2, vn. С этой целью представим невырожденную матрицу А в виде произведения BH положительно определенной матрицы В на ортогональную матрицу Я. Далее, матрицу В представим в виде C~xlDC\, где D — диагональная матрица из положительных собственных значений KuX2, Kn матрицы В. Пусть D(Z)— диагональная матрица, составленная из элементов e"nA*, k=\, 2, п. Тогда D(O) = = Е, D(I) = D и элементы D(t) меняются непрерывно. При этом det D(t) = (det D) 1Ф0. Положим 0(Z) = Cr1D(Z)C1.
Матрица H собственно ортогональна, ибо det А > 0 и det В > 0. Поэтому H допускает представление H = C21FC2, где C2 — ортогональная матрица, a F — блочно-диагональная, составленная из
с ф=я). Пусть F(t)—блочно-диагональная матрица, в которой
значениях Z собственно ортогональна- Очевидно, что F(O) = E и F(I) = F. Положим H(I)=C21F(t)C2. Ясно, что H(I) непрерывно зависит от Z, собственно ортогональна при всех значениях Z, H(O) = = Е и H(I) = H.
