Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
2) (хп у) + (х2, у) ~ (х\ + х2, у);
3) (х, уі) + (х, у2)~(х, ух + у2).
Две формальные суммы пар будем считать эквивалентными, если от одной к другой можно перейти посредством конечного
linv Сі. h.....'r.) х^х'* ... хпп = а det
(хиУ\) + (х2,у2)+ ... +(xk,yk).
384
ЭЛЕМЕНТЫ АЛГЕБРЫ ТЕНЗОРОВ
ІГЛ. XtV
числа эквивалентностей 1), 2), 3). Класс эквивалентности, содержащий сумму пар (xi, уі) + (х2, у2) + ... + (Xk, У к), будем обозначать
Xi ® у, + X2 ® у2 + ... +хк® у к.
На множестве формальных сумм пар введем структуру векторного пространства, положив
а((хи yi)-h ... + (**, ук)) = (ахі, yi)+ ... + (ахк, yk)
и
((xi, Уі) + ¦•¦ +(Хк,Ук)) + ({хш,ук+1)+ ... +(х,,Уі)) =
— (Jfl, У\)+ •¦¦ +(Хк, Ук) + (хк+і, Ук+і)+ ... +{Xi, уі).
При бесконечном поле К это пространство, очевидно, бесконечномерно. Ясно, что если две суммы пар эквивалентны, то они останутся эквивалентными после умножения на а. Если первая сумма пар эквивалентна второй и третья эквивалентна четвертой, то сумма первой и третьей эквивалентна сумме второй и четвертой. Поэтому структура векторного пространства может быть перенесена на множество классов эквивалентных сумм пар. Получившееся векторное пространство называется тензорным произведением пространств ShTh обозначается S ® Т.
2. Базис и размерность тензорного произведения. Пусть еи е„ — базис пространства S и gi, gm — базис пространства Т. Тогда, в силу эквивалентности 2) и определения произведения пары на элемент поля К, любая сумма пар эквивалентна сумме
С, (ЄЬ У\)+С2(Є2, у2)+ ... + Сп(Єп, Уп) При НеКОТОрЫХ Cl, c„s
єе и у и Уп^Т. Далее, в силу эквивалентностей 3) и 1), такая сумма эквивалентна сумме
Си gi) + Ci2 (е,, g2) + ... + сш (с,, gm) + + C2I (е2, gi) + C22 (е2, g2)+ ... + c2m (е2, gm) +
+ cni (е„, gi) + сп2 (еп, g2)+ ...+ cnm (е
п , gm)'
Таким образом, векторы е,- ® gj, і = 1, ..., л, / = 1, ..., m, порождают пространство S ® Т.
Докажем, что они линейно независимы. Пусть fi, ..., fn и и Ai, hm — базисы сопряженных пространств S* и T*, дуальные к выбранным базисам пространств S и Т. Рассмотрим пары (fi, hj) и определим их действие как линейных функций на пространстве сумм пар по формуле
(ft, h,) (ci(xi, yi)+ ... +ск(хк, у к)) =
= CifiXi-hjyi + ... + ckfiXk-hjyk,
Линейность этой функции на пространстве сумм пар очевидна.
§4] ТЕНЗОРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВ 385
Покажем, что эта функция принимает одинаковые значения на эквивалентных суммах пар. Это достаточно проверить для экви-валентностей 1), 2), 3). Получаем
1) (fi, hj) (ах, у) = fi (ах) h,y = afi (х) А/ (у), (fi, hj) (х, ay) = fi (х) h,- (ay) = afi (х) ht (у);
2) (ft, hi) [ (хи у) + (X2, у) ] = fiXi ¦ hty + f,jc2 ¦ hfy,
(fi, hj) (jci + jc2, y) = fi (jci + Jc2) • h,y = /,•JCi • hjy + fix2 ¦ hjy. Проверка для эквивалентности 3) аналогична. Таким образом, функция (/,¦, hj) определена на классах эквивалентных пар как линейная функция.
Допустим теперь, что имеется зависимость
Cu[ei®gi)+ ... + Cim(?l ® gm)+ ••• + Спі(Єп <S> g\) + ...
• . . + Сат (вп ® gm) = 0.
Применим к этому равенству функцию (/;, hj). Ясно, что ее значения на всех произведениях базисных векторов, кроме d ® gj, равны нулю, а значение на Єі<8>gj равно 1. Поэтому c7 = O при всех і и /. Таким образом, элементы d ® gj составляют базис пространства S ® Т, причем размерность этого пространства равна тп.
3. Тензорное произведение нескольких пространств. Тензорное произведение нескольких пространств Si, S2, ..., Sk вводится аналогично тензорному произведению двух пространств. Рассматриваются наборы компонент (jci, jc2, х*) при х< е S1 и их формальные суммы. Вводятся действия сложения (формально) и умножения на элементы основного поля, посредством присоединения множителя к первой компоненте. Множество таких формальных сумм становится векторным пространством (бесконечномерным при бесконечном основном поле). Вводятся эквивалентности 1) (axbjc2, ...,Xk) ~ (xi,ajc2, •••, Xk) ~ ... ~ (хьх2, ахк);
Щ*і.....x'i + x\.....xk)~(*i.....x'lt...,xk) + (X,, ...,х].....xk).
Две формальные суммы рассматриваемых наборов считаются эквивалентными, если от одной из них можно перейти к другой посредством конечного числа эквивалентностей вида 1), 2). Структура векторного пространства формальных сумм наборов компонент переносится на множество классов эквивалентности. Получившееся пространство называется тензорным произведением Si®S2® ... ®Sft пространств S1, S2, Sft. Класс, содержащий набор (хь х2, Xk), обозначается xj®x2® ... ®xk. Тензорные произведения базисов пространств S1, S2, Sk составляют базис Si ® S2 ® ... ® Sk- Это доказывается аналогично подробно разобранному выше случаю k = 2. Поэтому размерность тензорного произведения пространств равна произведению размерностей этих пространств.
4. Инвариантное определение тензора. Сейчас мы дадим определение тензора, отличное от данного в § 1, но, разумеется, тесно
886
ЭЛЕМЕНТЫ АЛГЕБРЫ ТЕНЗОРОВ
[ГЛ. XIV
с ним связанное. Пусть дано векторное пространство S и сопряженное с ним пространство S*. Элементы тензорного произведения т экземпляров S м k экземпляров 5* называются т раз контра-вариантными и k раз ковариантными тензорами. Если выбран базис ei, б2.....вп пространства 5 и дуальный с ним базис fl.....fn
