Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
Наконец, положим A(t) = B(t)H(t). Матрица А (Z) непрерывна при 0<Z< 1, det A (Z) = det ВЦ)фО, A(O) = E и A(I) = A.
Искомая деформация получена.
Если же ориентация уь V2, Vn противоположна ориентации •Єї, е2, еп, то непрерывной деформации базиса е\, е2, еп
в vi, V2.....Vn не существует. Действительно, если матрица A (Z)
непрерывна при 0:? Z^ 1, A(O) = E и A(I) = A, причем detA < <; 0, то det А (г), будучи непрерывной функцией от Z, должен перейти от положительного значения det A(O)= 1 к отрицательному det A(I) = det А < 0, что возможно, только если при некотором значении Z0, 0 < Z0 < 1, detA(Zo)=O, т. е. векторы Vi(Z0), v2(t0), ...
Cn(Zo) с матрицей из координат, равной A(Zo), линейно зависимы и не составляют базиса.
1 и блоков второго порядка вида
каждый блок второго порядка
I LUO Ш Olli Ш 1 -
дорого порядка ^ _ sin ^ cos ф J заменен на блок . Матрица F(t) непрерывно зависит от Z и при всех
ГЛАВА XIV ЭЛЕМЕНТЫ АЛГЕБРЫ ТЕНЗОРОВ
§ 1. Основные понятия
1. Определение тензора. Тензоры представляют собой многокомпонентные системы, элементы которых занумерованы двумя системами индексов — несколькими верхними и несколькими нижними, каждый из которых пробегает значения от 1 до п. Число нижних индексов называется валентностью ковариантности, число верхних — валентностью Контравариантности, их сумма — полной валентностью.
Тензоры, у которых отсутствуют верхние индексы, называются чисто ковариантными, у которых отсутствуют нижние — чисто контравариантными. Если присутствуют те и другие, тензор называется смешанным. Так, компоненты трижды ковариантного и дважды контравариантного тензора имеют вид a™k. Тензоры считаются связанными с «-мерным векторным пространством, в котором выбран базис, таким образом, что компоненты тензора при фиксированных индексах, кроме одного верхнего, образуют координаты вектора в выбранном базисе, компоненты же при фиксированных индексах, кроме одного нижнего, образуют координаты ковектора в дуальном базисе. При замене базиса компоненты тензора изменяются в соответствии с приведенным истолкованием индексов, нумерующих компоненты тензора.
В соответствии с данным определением набор координат вектора следует рассматривать как контравариантный тензор валентности 1 и нумеровать их следует верхними индексами.
В матрице преобразования координат элементы каждого столбца являются координатами векторов, именно, векторов нового базиса относительно исходного. Поэтому строки матрицы преобразования координат следует нумеровать верхними индексами. Элементы же каждой строки можно рассматривать как координаты ковекторов, т. е. линейных функций, посредством которых исходные координаты векторов выражаются через новые, и нумеровать их нижними индексами. При таких обозначениях матрица преобразования координат имеет вид (с{). Выражения исходных координат через новые имеют вид
378
ЭЛЕМЕНТЫ АЛГЕБРЫ ТЕНЗОРОВ
[ГЛ. XIV
а выражения новых координат через исходные имеют вид х'1= — E YJj.**, где (yk) — матрица, обратная к (с{). То, что эти две
матрицы взаимно обратны, можно записать в форме X Yac' = °?-
і
Здесь — символ Кронекера, т. е. о'к = 0 при k Ф j и б?=1> {60 — единичная матрица. Ввиду того, что обратная матрица является не только левой обратной, но и правой, верно, что
При транспонировании матрицы нужно поменять ролями верхние и нижние индексы. Напомним, что матрица преобразования координат транспонирована с матрицей замены базиса, так что формулы замены базиса имеют вид
< = Z с{е,
(суммирование по верхнему индексу матрицы (с/), а не по нижнему).
Напомним еще, что при преобразовании координат коэффициенты линейной функции /їх1 4- ... 4- 1пхп, т. е. координаты Ii.....In соответствующего ковектора, преобразуются по формулам
т. е. совершенно по тем же формулам, что формулы замены базиса. Это и дает основание считать набор координат ковектора ковариантным тензором.
В соответствии с данным выше определением тензора и формулами преобразования координат вектора и ковектора мы приходим к следующему правилу преобразования компонент тензора при преобразовании координат:
am = У аах cVcvvV
Здесь суммирование производится по индексам X, ц., v, о, т, меняющимся от 1 до п.
Это правило изменения компонент при преобразовании координат может рассматриваться и как определение тензора.
2. Сокращенные тензорные обозначения. В формулах преобразования компонент тензора при преобразовании координат, в частности, наборов координат вектора и ковектора, происходит суммирование при изменении некоторых индексов в одних и тех же пределах — от 1 до п, причем во всех рассмотренных в п. 1 ситуациях индекс, по которому осуществляется суммирование, входит два раза — как нижний и как верхний. Эти обстоятельства делают
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
379-
излишним указание пределов для индекса суммирования и, более того, само употребление знака ? становится не необходимым, если условиться считать, что как только в выражении встречается одинаковое обозначение для некоторых нижнего и верхнего индекса, то по этому индексу осуществляется суммирование. Так, формула преобразования компонент тензора записывается без знака J^1 в виде dfil = a^v^CyC^YoY?- Действительно, здесь каждый из индексов к, р, V, а, % встречается как верхний и как нижний и, следовательно, по всем этим индексам производится суммирование.
