Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть Uk+i, Un — ортонормальный базис Р, Vk+i, ..., vm — ортонормальный базис Q. Тогда совокупности векторов и\, uk, Uk+u .... Un и Vu Vk, Vk+u • ¦•> Vm образуют ортонормальные базисы пространств S и Г. По отношению к этим базисам оператор si имеет следующую матрицу:
ц, о ... 0 0 ц2 ... 0
о о ... ^
°m-ft, ft °m-ft, n-k
Числа ни ..ч Hk носят название главных или сингулярных значений оператора si.
На языке матриц полученный результат можно сформулировать следующим образом.
Для любой комплексной тУ(.п-матрицы А существуют унитарные матрицы BuC такие, что В*AC есть матрица вида М, причем k равно рангу матрицы.
Действительно, любая комплексная m X "-матрица может рассматриваться как матрица линейного отображения n-мерного унитарного пространства S в m-мерное унитарное пространство Г по отношению к некоторым ортонормальный базисам. Матрицы С и В преобразования координат от исходных базисов к базисам U].....ип и Vu vm унитарны. В силу формулы преобразования матрицы линейного отображения при преобразованиях координат, в новом базисе матрица вида M выражается посредством формулы B-1AC= В* АС. Число k = dim T0 = dim siS равно рангу матрицы А.
3. Обобщенный обратный оператор. Пусть si — оператор, отображающий л-мерное унитарное пространство S в /я-мерное
і 7] ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ УНИТАРНОГО ПРОСТРАНСТВА
унитарное пространство Т. Пусть S0, Р, T0 и Q— те же пространства, что и в п. 2. Полуобратный оператор, построенный исходя из разложений S = S0 Ф P и T = Го Ф Q1 называется обобщенным обратным и обозначается через si+. В этой ситуации операторы Si+Si и SiSi+ будут операторами ортогонального проектирования, т. е. будут самосопряжены.
Легко видеть, что если оператор J?, действующий из 7" в S, удовлетворяет условиям s4-$s4- = si, &sl3S = $s4- и sl!% самосопряжены, то & = Si+. Действительно, первые два условия показывают, что $ есть полуобратный оператор для некоторых разложений S = So® ker si, T = siS Ф Q, оператор 38sl проектирует S на S0 параллельно кет si, а оператор sl$ проектирует T на To = Si-S. Из самосопряженности операторов $19$ и $$1 следует, что оба проектирования ортогональны, т. е. S0 = (1^,5^)-1- и Q = = (SiS)1. Поэтому 3S = Si+.
Если ортонормальные базисы в S и 7 выбраны так, что тХ«* матрица оператора si равна
г ці о ... о
0 ц2 ••¦ 0
• ••••• »
0 О ... цй
®m—k, ft ^m-ft, n — k
то, очевидно, si+ будет иметь лХ яі-матрицу такого же вида, только вместо рь р2, .... Pft будут {Xf1, H2"', .... U-^1.
Понятие обобщенного обратного оператора естественно переносится на матрицы, так как каждую матрицу можно рассматривать как матрицу оператора по отношению к ортонормальным. базисам.
Для вычисления матрицы A+, обобщенной обратной для /иХ«-матрицы А ранга k, можно, например, поступить так. Представить А в виде произведения ВС mX^-матрицы В ранга k на &Х«-матрицу С ранга k. Тогда матрицы В*В и CC самосопряжены и невырожденны. Легко проверить, что А+ = С*(CC*)-1 (В*В)-1 В*. Для этого нужно убедиться в выполнении равенств AA+А = А, A+AA+ = A+ и в самосопряженности A+A и AA+, что не представляет труда.
4. Роль обобщенного обратного оператора в теории систем линейных уравнений. Сначала введем одно важное понятие. Пусть-в унитарном пространстве S даны подпространство P и вектор г. Расстоянием от вектора z до подпространства P называется минимум длин векторов z — u при мєР. Пусть г = X + у при х^Р, у^Р1. Тогда |z — и\2 = (х — и-\-у, х — и + у) = (х—и, х — и) + (у, у), ибо векторы х — и и у ортогональны. Ясно, что минимум реализуется при и = х и равен (у, у) = \у\2- Таким образом, расстояние от z до P равно длине ортогональной проекций
374
ЕВКЛИДОВО И УНИТАРНОЕ ПРОСТРАНСТВА
[гл. хш
вектора z на P1 и реализуется на векторе х, являющемся ортогональной проекцией z на Р.
Обратимся теперь к системе линейных уравнений. Систему т линейных уравнений с п неизвестными в векторно-операторной форме можно рассматривать как задачу определения вектора х из уравнения Mx==f, где M— оператор из n-мерного пространства 5 в m-мерное пространство Т, a f— данный вектор в Т. Для систем с комплексными коэффициентами (в частности, с вещественными) пространства SuT можно рассматривать как унитарные пространства с данными ортонормальными базисами. Вектора х, удовлетворяющего уравнению Mx = f, может не существовать. Для любого вектора хє5 вектор f — AeF называется вектором невязки. Обобщенным решением или решением в смысле наименьших квадратов называется вектор х0, при котором вектор невязки имеет минимальную длину. Векторы х, отличающиеся на слагаемые из ядра М, дают один и тот же вектор невязки. Среди них имеется кратчайший. Он называется нормальным обобщенным решением.
Покажем, что вектор M+f дает нормальное обобщенное решение уравнения Mx = f. Действительно, MM+f есть ортогональная проекция вектора f на То = MS. Поэтому на этом векторе невязка имеет минимальную длину. Далее, M+f є S0 = (ker M)х. Поэтому длина любого вектора M+f + у при у^кетМ, квадрат которой равен \M+f I2 4-1у\2, имеет минимум при «/ = 0.
