Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
пространства 5*, то тензоры представляются в виде
Ji ... Inе ®... ® е. ® f'i ®... ® f'fc-
1I ... 'ft M 'm
Из формул преобразования координат следует, что набор коэффициентов а[1'"[т составляет k раз ковариантный и m раз контра-вариантный тензор в смысле определения, данного в § 1.
Данное здесь определение тензора хорошо своей инвариантностью, в его формулировке никак не участвует выбор базиса пространства. Однако в приложениях тензоров чаще оказывается более удобным определение через компоненты и формулы преобразования.
5. Действия над тензорами в свете инвариантного определения.
Действия сложения и умножения на скаляры -совпадают с одноименными действиями в пространстве тензоров данного типа. Действие умножения тензоров равносильно их тензорному умножению как векторов в своих пространствах. Это с очевидностью следует из представления тензоров через базис:
(Jy1^e1. ®...®е, ®f'' ®...® f'*)®
\ 'l ••• 'ft h 'm /
® (6Pi' ••• 4Ps6I1 ® • • • ® в "і ® ® - - - ® f"S) =
= а'» ••• imbll ¦" 4Je1 ®... ® е. ® f[ ®... ® fk ®
I1 ... ik P1 ... P3 I1 Im
® е„х ®.... ® e„t ® f1 ® . . . ® f*.
Операция свертки заключается в том, что в каждом слагаемом суммы тензорных произведений
je, ® ... ® je, ®... ® х. ® у'1 ®... ® ® ... ® у'*
M 's 'm
выбираются одинаково для всех слагаемых один ковектор у ' и один вектор X1 , они выбрасываются, но при этом появляется в качестве множителя значение ковектора ylt на векторе xls. Инвариантность этой операции легко проследить. Если ее выполнить в записи тензора через базис:
Jl - Is-¦ Im е ® . . . 0 е ® . . . ® Є ® f'l ® . . . ® ft ® . . . ® fk ,
I1 ... tt... ik J1 ;s im
мы получим, что значение ftf на e/s отлично от нуля и равно 1 только при J3 = it, и при фиксированных остальных индексах нужно сложить получившиеся свободные члены, что и сводится к
ТЕНЗОРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВ
387
суммированию по и компонент а\
, т. е. описанная опера-
ция свертки в инвариантной форме совпадает со сверткой при задании тензора компонентами.
6. «Прямоугольные» тензоры. Компоненты тензора полной валентности т естественно сопоставляются точкам с целыми координатами от 1 до и (п. — размерность пространства) в /п-мерном пространстве. Они образуют как бы /и-мерно кубическую таблицу, подобно тому, как при полной валентности 2 компоненты располагаются в виде квадратной матрицы. Аналогами прямоугольных матриц могут служить компоненты тензоров, связанных с несколькими пространствами.
Пусть даны пространства Si, S2, ..., S, над одним и тем же полем /(.Рассмотрим тензорное произведение нескольких экземпля: ров S1 и S*, нескольких экземпляров S2 и S2 и т. д. Векторы получившегося пространства будут иметь вид
Здесь индексы »1, ..., ik, Jn • ¦ ¦. /( принимают значения от 1 до /2[ = dimSi, индексы qi, qt и р\, ps принимают значения от 1 до п2 = dim S2 и т. д.; ех, ..., еп> — базис S1, /, ... fni — дуальный базис S*, gv ..., gn: и A1, A^2-базисы S2 и S2 и т. д.
Компоненты при преобразованиях координат в пространствах Si, S2, ... изменяются по правилам преобразования компонент тензора, только первая группа индексов связана с S1, вторая группа с S2 и т. д. Сложение, умножение на скаляры и умножение тензоров выполняются по тем же правилам, что и для обычных тензоров. Свертка допустима только по нижнему и верхнему индексам из одной группы.
... ® е/;®/г' ® ... ® ® ••• ® ® Л"1
® ... ® hPs ®...
ГЛАВА XV
АЛГЕБРЫ
§ 1. Общие сведения
1. Определение и простейшие свойства алгебр. В различных разделах математики возникает потребность рассматривать векторные пространства (над данным полем К), в которых кроме действий сложения и умножения на скаляры определено еще действие умножения, сопоставляющее каждой упорядоченной паре векторов третий вектор того же пространства — их «произведение». В этой ситуации всегда естественно предполагать, что результат умножения ху линеен по каждому из множителей при фиксированном втором, т. е.
(C1X1 + C2X2) У = C1X1J/ + C2X2y, X(C1W1 + C2W2) = C1XWi + с2ху2.
Пространство с умножением, удовлетворяющим такому требованию билинейности, называется алгеброй над полем К-
Иначе можно сказать, что алгебра есть одновременно кольцо и линейное (векторное) пространство с естественным согласованием кольцевого умножения и векторных действий. Именно, сложение в кольце и сложение в векторном пространстве совпадают, а свойства дистрибутивности для умножения «усиливаются» до линейности по каждому множителю, для чего достаточно потребовать, чтобы (сх)у = X(су) = сху при любых с<=/( и х,у из алгебры.
Читатель уже неоднократно встречался с алгебрами. Напомним некоторые знакомые примеры алгебр.
1. Поле С. комплексных чисел над полем R вещественных чисел образует, очевидно, алгебру размерности 2.
2. Кольцо квадратных матриц порядка п с элементами из поля К образует алгебру над этим полем размерности п2.
3. Кольцо многочленов К [t] образует алгебру бесконечной размерности над полем К.
