Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
морфизма, матрица Л = ( _c + dt- a_( терниону a =» a — bi — с/ — dk — матрица
, сопряженному ква-_« -с-di \ д. — di а + Ы )
= -?, т. е. Л = Г at" c + f. ). r V — с + dt а — bi )
унитарна и deM='l, то равенство Л-1 = Л*
дает
6 = a
а, у
АЛГЕБРА КВАТЕРНИОНОВ
39»
Таким образом, отображение а*—>Л осуществляет изоморфизм группы кватернионов единичного модуля и группы SU (2).
6. Вращения четырехмерного пространства. Рассмотрим четырехмерное пространство кватернионов как евклидово, с естественной метрикой: если х = ах + M + С\\ + &\К у = а2 + b2i + с2/ + -f- d2k, то (х, «) = aia2 + Ьі&2. H- CiC2 + йМ2 = Re (ху) = Re (ху).
Пусть ?— кватернион, |?|= 1. Покажем, что как оператор левого умножения на ?, так и оператор правого умножения являются ортогональными операторами. Действительно,
(?x, ?#) = Re(?x?w) = Re(x??#) = Re(Xy) = (X, у)
и _ _
(x?, |,?) = Re(x?w?) = Re(x??y) = Re(xy) = (x, у).
Более того, оба эти оператора собственно ортогональны. Для доказательства положим ? = cosq>+"sinop и возьмем в качестве базиса векторы т, и, v, w, где v — какой-либо единичный вектор, ортогональный вектору и, и ад = uv. Тогда ? . 1 = cos ф -f- и sin ф,
? • и = — sin ф + и cos ф,
? ¦ V = V cos ф + w sin ф,
? • w = — V sin ф -f- W cos ф.
Таким образом, в рассматриваемом базисе оператор левого умножения на ? имеет матрицу, составленную из двух одинаковых блоков определителя +1. Аналогично 1 . ? X= cos ф + и sin ф, и ¦ ? = — sin ф -4- и cos ф, V • ? = V cos ф — ад sin ф,
w • ? = V sin ф -f- W cos ф,
так что матрица оператора правого умножения на ? тоже имеет определитель, равный +1.
Заметим, что в базисе 1, и, w, v оператор правого умножения имеет матрицу, состоящую из двух одинаковых блоков. Базис 1, и, V, w получается из исходного 1, i, j, k посредством собственно ортогонального преобразования координат, а базис 1, и, w, v получается из исходного посредством несобственно ортогонального преобразования координат.
Рассмотрим теперь оператор двустороннего умножения: хь-> н-»7_Ix?, где у и ? — кватернионы единичного модуля. Этот оператор есть произведение собственно ортогонального оператора левого умножения на у-1 и собственно ортогонального оператора правого умножения на ?, поэтому он тоже собственно ортогонален.
Покажем, что любой собственно ортогональный оператор в пространстве кватернионов представляется в виде оператора двусто-
400
АЛГЕБРЫ
[ГЛ. XV
роннего умножения. Действительно, пусть ф — такой оператор и пусть ф(1) = а. Тогда |а|=1 и тф(х) = ф(х)а-1 оставляет 1 на месте, и, следовательно, преобразует в себя ортогональное к 1 трехмерное пространство векторов, индуцируя в нем собственно ортогональный оператор. Следовательно, (х) = у-1ху при некотором кватернионе у единичного модуля и ф(х) = у_1лф при ?=ya.
Рассмотрим (внешнее) прямое произведение G двух экземпляров группы кватернионов единичного модуля и каждому элементу K = (у, ?)eG этой группы сопоставим оператор хь—>y-'x?. Тогда произведению элементов из G соответствует произведение операторов. Действительно, пусть Ai=(yi,?i), A2 = (у2, ?2). Элементу AiA2 = (уіу2, ?i?2) соответствует оператор ArH~»(-yiy2)-1x?i?2 = = y2"1(Yfl-"<:?i)?2> применение которого равносильно последовательному применению операторов, соответствующих элементам Ai и A2. Таким образом, мы задали гомоморфное отображение группы G на группу вращений четырехмерного пространства. Ядро этого гомоморфизма состоит из таких пар (у, ?), для которых 7_1jc? = X при всех х. Положив х=\, получим, что у = ?. Из ?-1jc? = X при всех X следует, как мы видели в предыдущем пункте, что ? = ± 1- Итак, ядро состоит из элементов (1,1) и (—1,—1).
Таким образом, мы доказали следующую теорему.
Теорема 4. Группа SO(4) собственно ортогональных преобразований четырехмерного пространства изоморфна факторгруппе прямого произведения двух групп кватернионов единичного модуля по подгруппе, состоящей из (1,1) и (— 1,—1).
Заметим еще, что группа SO (4) содержит циклическую подгруппу второго порядка, образованную операторами ±<8, где Ж — тождественный оператор. Факторгруппа PSO(4) группы SO(4) по этой подгруппе изоморфна, как легко видеть, прямому произведению двух групп SO (3).
Такое разложение группы SO (4) ставит ее в исключительное положение среди групп SO(п). Именно, все группы SO (п) при нечетном п ^ 3 простые и факторгруппы PSO (п) групп SO (п) по подгруппе {±<2?} при четном п ^ 6 тоже простые.
Установленное разложение группы SO (4) показывает, что в ней имеются два замечательных нормальных делителя, соответствующих операторам правого и левого умножения в алгебре-кватернионов. Интересно охарактеризовать эти группы в терминах самой группы SO (4). Это нетрудно сделать. Выше мы видели, что каждый оператор правого умножения и каждый оператор левого умножения имеет в некотором ортонормальном базисе матрицу, состоящую из двух одинаковых блоков второго порядка. Оказывается, что этим свойством вполне характеризуются элементы SO(4), допускающие реализацию в виде оператора правого или левого умножения. Действительно, пусть оператор M Ф ±& обладает этим свойством. Тогда si-2— 2 cos ф M 4-1 =0, ибо этому
