Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
Алгебра называется коммутативной, если ху = ух при любых X и у из алгебры. Алгебра называется антикоммутативной, если квадрат любого ее элемента равен нулю. В этом случае для любых X а у кз алгебры выполнено соотношение ху=—ух, ибо
0 == (х + у) (х + у) = X2 + ух + ху + у2 = ух + ху.
Алгебра называется алгеброй Ли, если она антикоммутативна и для любых трех ее элементов выполнено соотношение Якоби:
x(yz) +y(zx) + z(xy) = 0.
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
391
Среди алгебр, встречающихся в приложениях, алгебры Ли играют особую роль. В частности, они тесно связаны с группами Ли.
Любая ассоциативная алгебра может быть «превращена» в алгебру Ли посредством введения нового «умножения» о по нра-вилу X о у = ху — ух. Ясно, что X о X =» 0 при любом х. Соотношение же Якоби легко проверяется:
xo(yoZ) + yo (z°x)+Zo (х°у) = x(yz — zy) — (yz — zy)x +
+ у (zx — xz) — (zx — xz)у -J- z(xy — yx) — {xy — yx)z = 0.
Алгебра (не обязательно ассоциативная) называется алгеброй с делением, если уравнение ху = z разрешимо относительно х при данных у Ф О и z. Другими словами, алгебры с делением характеризуются тем, что все операторы правого умножения, кроме нулевого, невырожденны. В алгебрах с делением уравнение ху = z при у Ф О разрешимо относительно х однозначно, ибо невырожденный оператор имеет нулевое ядро. В частности, из равенства ху=0 следует, что при у ф О X = 0 и что X=J^O возможно только при у = 0. Но это значит, что любой оператор левого умножения, кроме умножения на 0, имеет нулевое ядро и, следовательно, невырожден. Поэтому и каждое уравнение ху = z при х ф 0 разрешимо относительно у.
Легко видеть, что над полем С не существует алгебр с делением, кроме самого JC. Действительно, если размерность п алгебры с делением больше 1, то в ней существует два линейно независимых элемента X и у. Рассмотрим соответствующие им операторы правого умножения Six и &1У и их матрицы Rx и Ry в некотором базисе. В силу невырожденности операторов правого умножения det Rx Ф 0 и det Ry Ф0. Рассмотрим элемент x-\-ty при t є= .С Оператор правого умножения на него есть Rx + tRy. Его определитель det(Rx+tRy) = detRx-T- ¦¦• +f"det/?j, есть полином степени п от t, следовательно, обращается в 0 при некотором значении t. Это невозможно в алгебре с делением, ибо х + ty Ф 0, и, следовательно, оператор Six + Шу должен быть невырожден. Что касается алгебр размерности 1, то, как легко видеть, их существует только две, с точностью до изоморфизма, — алгебра с нулевым умножением (т. е. алгебра, в которой произведение любых двух элементов равно 0) и С. Над полем вещественных чисел алгебры с делением существуют — в частности, поле С. С важной алгеброй размерности 4 мы познакомимся в следующем параграфе.
4. Идеалы алгебры. Правым идеалом алгебры А называется подпространство / такое, что при любых у єн /, х є А будет ух єе /. Другими словами, правый идеал алгебры есть подпространство, инвариантное для всех операторов правого умножения. Аналогично определяется левый идеал алгебры. Подпространство, являющееся правым идеалом и левым идеалом одновременно, называется двусторонним идеалом. Ясно, что в коммутативной или в антикоммутативной алгебре все идеалы двусторонние.
392
АЛГЕБРЫ
[ГЛ. XV
Двусторонние идеалы играют в теории алгебр такую же роль, как нормальные подгруппы в теории групп: именно они, и только они, являются ядрами гомоморфизмов алгебр. Гомоморфизмом, или гомоморфным отображением алгебры А в алгебру В называется линейное отображение ср: А—*В, сохраняющее умножение, т. е. такое, что ф (ху) = ф (х) ф (у).
Легко видеть, что ядро / любого гомоморфизма ф алгебры А есть двусторонний идеал. Действительно, если у єн У, то у (у)= О, но тогда у(ху) = ф(х)ф(«) = 0 и <р(ух) = (р(у)ср(х) = 0 при любом лсєнЛ. Значит, леи єн / и ух єн/, т. е. / есть двусторонний идеал.
Для того чтобы показать, что любой двусторонний идеал есть ядро некоторого гомоморфизма, нужно осуществить построение факторалгебры A/J, т. е. ввести естественным образом действие умножения в факторпространстве A/J. Вспомним, что факторпро-странство AfJ состоит из классов сравнений по модулю /. Линейной комбинацией классов считается класс, содержащий такую же линейную комбинацию представителей, и этот класс не зависит от выбора представителей в силу очевидного свойства сравнений по подпространству. Введем столь же естественным способом действие умножения классов. Именно, произведением двух классов назовем класс, содержащий произведение любой пары представителей от умножаемых классов. Корректность этого определения, т. е. независимость класса от выбора представителей, обеспечивается следующей леммой.
Лемма. Если J — двусторонний идеал алгебры А и если X\ s= е= ух (mod /) 0? = IJ2 (mod J), то XxX2 = У\Уч (mod /).
Доказательство. X1X2-У1У2 = X1(х2 — у2) + (х\ — yx)y2^J, ибо X2 — «2 єн /, х\ — ух єн / и / есть двусторонний идеал. Лемма доказана.
Итак, в факторпространстве AfJ мы ввели умножение. Его линейность относительно каждого из сомножителей следует из билинейности умножения в алгебре А. Ясно, что AfJ есть гомоморфный образ алгебры А при «естественном» отображении, соотносящем каждому элементу л: єн Л содержащий его класс. То что это отображение гомоморфно, следует из определения действий в AfJ.
