Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Фаддеев Д.К. -> "Лекции по алгебре" -> 160

Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.

Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре: Учебное пособие — M. Наука, 1984. — 416 c.
Скачать (прямая ссылка): lektsii-po-algebre.djvu
Предыдущая << 1 .. 154 155 156 157 158 159 < 160 > 161 162 163 164 165 166 .. 168 >> Следующая


алгебра кватернионов

397

тернионов на себя, ъ. е. автоморфизм этой алгебры. Линейное преобразование пространства векторов, отображающее тройку i, j, k на тройку и, V, до, есть, очевидно, собственно ортогональное преобразование, ибо эти две тройки образуют ортонормальные одинаково ориентированные базисы пространства векторов. Ясно, что любое собственно ортогональное преобразование пространства векторов определяет некоторый автоморфизм алгебры кватернионов-

Все автоморфизмы получаются указанным способом. Действительно, пусть и, V, до— образы i, j, k при некотором автоморфизме. Тогда и2 = V2 = до2 = —1, uv = —vu = до, vw = —wv = и и дон = = —uw = v. Из равенства и2 = —1 заключаем, что кватернион и есть вектор единичной длины. Действительно, пусть и = a -f- Mi, где а — скалярная часть и. Тогда —1 = и2 = а2-\-2ащ—|wi|2, откуда 2аи\ = 0. Если допустить, что и\ = 0, то —1 = а2, что невозможно. Поэтому Ui ф 0 и, следовательно, а = 0, |м| = |мі|= 1. По той же причине кватернионы V и w — тоже векторы единичной длины. Далее, из того, что скалярная часть кватерниона uv = до равна нулю, мы заключаем, что векторы и и v ортогональны. По той же причине ортогональны векторы V, w и w, и, так что и, v, w составляют тройку попарно ортогональных единичных векторов. Ориентация этой тройки совпадает с ориентацией тройки i, /, k, ибо в противном случае было бы uv = —до, а не uv = до.

Пусть теперь а — некоторый кватернион единичного модуля. Ясно, что отображение xt—>а_1т есть автоморфизм алгебры кватернионов и, следовательно, он осуществляет некоторое собственное вращение пространства векторов. Рассмотрим его подробнее. Пусть а = а + «о, где а — скалярная часть а. Тогда а2 + | и0|2 = 1, так что можно положить a = cos ф, | «о| = sin ф, 0 ^ ф ^ я. Тогда ct = cos cp-f~u sin ф, где и — вектор единичной длины (если а=±1, то «о = 0, и в качестве и можно взять любой единичный вектор). Пусть теперь V — какой-либо вектор единичной длины, ортогональный вектору и, и пусть w = uv. Выясним, как действует автоморфизм д:н->а_1д:а на векторы и, v, до. Ясно, что а и и коммутируют, так что а-1ыа = и. Далее,

a-1 = a = cos ф — и sin ф,

a-iya = (cos ф — и sin ф) v (cos ф + и sin ф) =

= (v cos ф — до sin ф) (cos ф + и sin ф) =

= V cos 2ф — до sin ф cos ф-f- vu sin ф cos ф — wu sin2 ф =

== V (cos2 ф — sin2 ф) — 2w sin ф cos ф = v cos 2ф — w sin 2ф$

а_1доа = (до cos ф -+- v sin ф) (cos ф -f- и sin ф) = v sin 2ф + до cos 2ф.

Итак, автоморфизм xs—^оНха не меняет вектор и и поворачивает на угол —2ф плоскость, натянутую на векторы о и до (считаем положительным направление вращения от о к до), т. е. вращает пространство векторов вокруг оси, проходящей через вектор

398

АЛГЕВРЫ

(ГЛ XV

и, на угол —2ф. Известно, что всякое собственное вращение трехмерного пространства есть поворот вокруг некоторой оси на некоторый угол, так что любое собственное вращение может рассматриваться как трансформация х»—>а-1ха посредством кватерниона е единичным модулем.

Заметим, что преобразование х-—>а~1ха при |а|^=1 не дает ничего нового, ибо, если положить а = |а|а0, то |ао|=1 и 0¦-1Xa = (X0-1JC(Xo при любом кватернионе х.

В любой ассоциативной алгебре с единицей обратимый элемент а порождает автоморфизм алгебры xi—>a-1xa. Такие автоморфизмы называются внутренними автоморфизмами алгебры. Полученный ранее результат показывает, что все автоморфизмы алгебры кватернионов внутренние.

Кватернионы единичного модуля образуют, очевидно, группу относительно умножения. Сопоставление каждому такому кватерниону вращения xi—>CC-1Xa трехмерного пространства векторов есть, очевидно, гомоморфное отображение, ибо (a?)-1xa? = *= ?_1 (CC-1XCc) ?, т. е. произведению кватернионов отвечает произведение вращений. Ядро этого гомоморфизма состоит только из элементов ±1. Действительно, a = а 4- bi 4- с/ 4- dk принадлежит ядру, если Cc-1XCC = X при любом векторе х, т. е. если xa = ах. Положив X = і, получим с = d = 0, а положив х = /, получим b = = d = 0. Итак, a = а = ±1, ибо |a| = |а\ = 1.

Тем самым мы получили, что группа SO(3) собственных вращений трехмерного пространства изоморфна факторгруппе группы кватерниэнов единичного модуля по подгруппе {±1}.

Представление трехмерных вращений при помощи кватернионов очень удобно тем, что кватернион, связанный с вращением, определяет непосредственно его геометрические характеристики — ось вращения и угол поворота. При обычном задании вращения при помощи ортогональной матрицы для определения оси вращения и угла нужно произвести некоторые, хотя и несложные, вычисления. Закон умножения кватернионов тоже проще (по форме записи) закона умножения матриц третьего порядка.

Заметим еще, что группа кватернионов с единичным модулем изоморфна группе SU (2) унитарных матриц второго порядка с определителем, равным единице. Действительно, кватерниону a = = a + bi 4- cf 4- dk соответствует, в силу описанного в п. 1 изо-

Из равенства aa = 1 следует AA* = Е, т. е. матрица унитарна. Далее, det А = а2 4- Ь2 4- с2 4- d2 = 1. Обратно, если матрица А ==
Предыдущая << 1 .. 154 155 156 157 158 159 < 160 > 161 162 163 164 165 166 .. 168 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed