Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
ВНЕШНЯЯ АЛГЕБРА
401
уравнению удовлетворяют оба блока. Отсюда следует, что каков бы ни был вектор х, векторы X и s4-x линейно независимы, порождают инвариантное двумерное подпространство и ортогональное дополнение к нему тоже инвариантно. Пусть st действует в пространстве алгебры кватернионов и пусть ? = st(l). Кватернион ? будет иметь единичный модуль и будет отличен от ±1, ибо 1 и ? линейно независимы. Положим ? = cos ф -+- и sin ф. Пусть v — какой-либо вектор, ортогональный векторам и и w = uv. Тогда либо в базисе 1, и, v, w, либо в базисе 1, и, w, v матрица оператора st будет состоять из двух равных блоков. В первом случае st есть оператор левого умножения на ?, во втором — правого. Итак, мы получили следующее.
1. Элементы SO(4), имеющие в некотором ортонормальном базисе матрицу, состоящую из двух равных блоков второго порядка, разбиваются на два класса в зависимости от ориентации этого базиса. Эти два класса имеют общими элементами лишь ±&.
2. Элементы каждого класса образуют группу по умножению.
3. Элементы из разных классов коммутируют.
Прямое доказательство этих утверждений без обращения к алгебре кватернионов непросто.
§ 3. Внешняя алгебра
1. Определение внешней алгебры. Под названием внешней алгебры известна ассоциативная алгебра, введение которой, в частности, полезно при построении теории интегрирования в многомерных пространствах. Внешняя алгебра (над данным полем К) строится, если задано некоторое векторное пространство над тем же полем. Элементами внешней алгебры являются формальные «внешние» произведения векторов, причем попарное умножение векторов считается антикоммутативным. Никаких соотношений, кроме тех, которые следуют из дистрибутивности, ассоциативности и антикоммутативности, при умножении векторов не предполагается. Строже определение внешней алгебры можно дать различными способами. Мы дадим следующее формальное определение.
Пусть N = {1,2, п)—множество чисел, составляющее отрезок натурального ряда N- Символами Г, Г!; Г2, ... будем обозначать подмножества множества Af, включая само N и пустое множество 0. Каждому Г cz N сопоставим базисный элемент ет внешней алгебры. Тем самым размерность конструируемой алгебры равна числу подмножеств множества Af, Т. е. 2". Действие умножения во внешней алгебре обозначается знаком Л. Для базисных элементов оно задается следующим образом:
1. Если Г,ПГ2=?0, то еГіАеГг = 0.
2. Если Г,ПГ2=0, то ег, Лег, = (-1)іпу(г"Гг)Єг,иг2.
Здесь іпу(Гі,Г2) обозначает число инверсий, которое образуют числа, составляющие Гі, с числами, составляющими T2.
402
АЛГЕБРЫ
(ГЛ XV
2. Ассоциативность. Докажем ассоциативность умножения во внешней алгебре. Пусть Гь Гг и Г3 — три подмножества множества N. Нам нужно доказать, что (ег, Л ег2) Л ег, = «r, Л (^r2 Л ^r3).
Допустим сначала, что хотя бы одно из множеств Гі f| Г2, TiHT3, F2RT3 непусто. В этом случае обе части равенства равны нулю. Действительно, левая часть равна нулю, ибо непусто либо Гі П T2, либо (TiUr2)(Ir3. Аналогично, правая часть равна нулю, ибо непусто либо Г2ПГ3, либо Гі D(T2Ur3).
Теперь допустим, что Tj П T2 = Гі П T3 = T2 П T3 == 0. Имеем
(«г, Л еГг) Л ег, = (- l)inv <г" г'>ег, и г, Л «г, =
«= ( _ l)lnv (Г,. r2)+lnv (Г.ЦГь Гз)ЄГі „ FiU rs;
«г, Л (er, Л еГз) = ( - l)Inv <г°- Гз)ег, Л вг, и г8 =
= ( _ l)lnv (Г» ra)+inv (Г,. Г, U Г )вГі и Гг ц п>
Но іпу(ГіиГ2,Г3) = іпу(Гі,Г3) + іпу(Г2, Г3) и inv(Г,, T2UT3) = = inv(Tb T2)+ inv(Ti, Гз). Поэтому (еГіАегд Л ^r3 = ^r1 Л («п Л еГа).
3. Градуировка. Степенью базисного элемента ег внешней алгебры называется число элементов, составляющих Г. Элемент
X агег называется однородным, если все базисные элементы, вхо-г
дящие с ненулевыми коэффициентами, имеют одинаковую степень. Эта степень называется степенью однородного элемента. Нулевой элемент алгебры причисляется к однородным элементам любой степени. Ясно, что однородные элементы фиксированной степени k образуют линейное подпространство в пространстве внешней алгебры, и его размерность равна числу ^-элементных подмножеств множества N, т. е- числу сочетаний С*. Ясно также, что произведение двух однородных элементов есть однородный элемент, степень которого равна,сумме степеней сомножителей, если эта сумма не превышает п. Если же сумма степеней двух однородных элементов больше п, то их произведение равно нулю, ибо в этом случае подмножества, индексирующие любую пару базисных элементов, входящих в сомножители, имеют непустое пересечение.
Разложение внешней алгебры в прямую сумму подпространств однородных элементов называется ее градуировкой.
Вообще, алгебра конечной или бесконечной размерности называется градуированной, если она может быть разложена в прямую сумму подпространств Uk, A = O, 1, 2, причем если хєї/t, у є Ui, то ху є Uk+i. Разумеется, если градуированная алгебра имеет конечную размерность, то пространства Uk при достаточно больших k состоят только из 0. Примером градуированной алгебры может служить алгебра многочленов от одной или нескольких переменных. Эта алгебра имеет бесконечную размерность.
