Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Фаддеев Д.К. -> "Лекции по алгебре" -> 167

Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.

Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре: Учебное пособие — M. Наука, 1984. — 416 c.
Скачать (прямая ссылка): lektsii-po-algebre.djvu
Предыдущая << 1 .. 161 162 163 164 165 166 < 167 > 168 >> Следующая


= det ((ft, fj)). Если /i, ..., fk a gi, ..., gk — два базиса некоторого

k

А-мерного подпространства P в R" и g; = Z cijfi> 1> 2, ..., k,

то V(gi.....gk) = I det (су) j V (fi, ¦ ¦ ¦, fk). Если det(c,7) > 0, системы gi, gk и fi.....fk одинаково ориентированы, если же

det(c,;)<0, то их ориентации противоположны- Напомним, что если fi, ..., }к и gi, ..., gk одинаково ориентированы, то существует непрерывный путь, соединяющий две эти системы, т. е. существует система векторов hi(t), hk(t), непрерывно зависящая от вещественного параметра і, О ^ t ^ 1, и такая, что /г,-(0) = = fi, hi(l) = gi и при любом t из промежутка 0 < / < 1 система векторов hi(t), hk(t) остается базисом подпространства P-Если же fi, fk и gi.....gk имеют противоположную ориентацию, то такого пути не существует.

Теперь докажем теорему, вскрывающую геометрическое значение внешнего умножения векторов.

Теорема 9. Пусть fu fk — линейно независимая система векторов в n-мерном евклидовом пространстве R", и пусть gi, ... • , gk — другая система векторов. Для того чтобы имело место равенство

HAf2A ... Afk = giAg2A ... /\gk, (3)

необходимо и достаточно, чтобы системы fi, . - -, fk и gi.....gk

порождали одно и то же подпространство в Rn, были бы в нем

одинаково ориентированы и объемы V(fx.....fk) и V(gu gk)

были бы равны.

Доказательство. Докажем сначала необходимость. Пусть равенство (3) выполнено. Тогда при любом і, 1 ^ і ^ k, будет JiAf2A ... A fk A gi = О и, следовательно, система Zi, .... fA, gt

линейно зависима, откуда в силу независимости fi, fk еле-'

k

дует, что g{ = Zc17//, i=l, 2, ..., k. Тогда gi А ... Agk =

= det(Cv)ZiA ... Afk, так что det(cv) = -|- 1. Следовательно, системы fu - ¦ ¦, fk и gi, - - -, gk порождают одно и то же подпространство и одинаково в нем ориентированы. Так как V(gi, ... ..¦,gk) = I det (с-,) I V(Zi, fk), объемы равны.

Докажем теперь достаточность. Пусть Zi, fk и g\, gk

порождают одно и то же подпространство, имеют одинаковые

k

ориентации и V(fu ..., fk) = V(gu ..., gk). Тогда gt = Z C//Z/.

1-і

причем det(C7)X) и I det(C7) |= 1, т. e. det(c7)=l. Ясно, что gi А ... Ag* = det (C7) Zi A ... AZa = ZiA ... AZ*-

414

АЛГЕБРЫ

|ГЛ. XV

Доказанная теорема позволяет трактовать fiA/jA ... Л /* как «направленный объем» параллелепипеда, натянутого на /ь ... ..., fk. Действительно, это внешнее произведение определяет как величину объема, так и его «направление», т. е. подпространство, в котором этот объем сосредоточен, и ориентацию в этом подпространстве. В этом смысле внешнее произведение системы векторов обобщает векторное произведение пары векторов в трехмерном пространстве. Напомним, что векторное произведение равно по величине площади параллелограмма, натянутого на пару векторов, а его направление характеризует плоскость, порожденную парой векторов и ориентацию пары на этой плоскости.

11. Подпространства однородных элементов дополнительных степеней. Пусть Sk и Sn-k — подпространства однородных элементов степеней k и п — k в пространстве внешней алгебры. Размерности этих подпространств совпадают. Если «eSj и оє Sn-k, то и Av принадлежит одномерному подпространству Sn элементов степени п. Пусть в[, еп — какой-либо базис в Si. Тогда и Av ¦== а{и, v)eiAe2A ... Aen. Ясно, что коэффициент а(и, v) есть при фиксированном v линейная функция от и. Очевидно, что порожденное тем самым отображение Sn-k в пространство S*k, сопряженное с 5*, линейно и его ядро состоит только из 0. Из совпадения размерностей Snk и S'k следует, что это отображение есть изоморфизм. Так определенный изоморфизм пространств Sn_k и S*k зависит от выбора базиса е\, ..., еп, но зависит «слабо»— он определен с точностью до множителя det (с«/), где (с,;) — матрица перехода от исходного базиса к другому. В частности, если det(c,/) = +l, то изоморфизм Sn_k и S\ сохраняется при

замене базиса еи еп на бпзис fi, ..., fn при f{ = Z Cifii-

/=і

Если за исходный базис в пространстве 5* взяты элементы ег =¦ =eVi Л .. • АеУк,уі < ... < ук,то сопряженным базисом в Sn-k будет система элементов (— l)inv<r> г'>ег/, где Г' = Л/\Г,что непосредственно следует из закона умножения во внешней алгебре.

Допустим, что исходное пространство Si евклидово и базис #1, е2, еп ортонормальный. Тогда пространства Sk и Sn-*,тоже имеют структуру евклидова пространства при ортонормальных базисах {ег} и \ег'}. Напомним, что для евклидова пространства S имеется естественный изоморфизм между S и сопряженным пространством S*, именно, образом элемента ^eS при этом изоморфизме является функционал fy(х) = (х, у). Наличие этого изоморфизма позволяет отождествить S и S*. Эти соображения делают естественным введение следующего понятия. Будем считать, что элемент «eSj квазиравен элементу v^Sn-k и писать и «и, если U и V индуцируют в S\ одинаковые функционалы, т. е. при любом w єн Sk имеет место равенство w A v = (до, и)в\ А ... Л еп. Ясно,

ВНЕШНЯЯ АЛГЕБРА

415

что квазиравные k- и (п — k) -векторы и и v имеют одинаковые координаты в базисах {ег} и {(— l)Inv <г> г'>еГ'} при Г" = ЛГ\Г. Отношение квазиравенства «почти симметрично», именно, если и та V, то V « (—\)к(п-к)и. Отношение квазиравенства зависит от выбора базиса, но, очевидно, не изменяется при собственно ортогональном преобразовании координат. При несобственно ортогональном преобразовании квазиравные поливекторы превращаются в квазипротивоположные, т. е. если до преобразования было и « v, то после преобразования станет и « —v (конечно, при определении квазиравенства по отношению к новым базисным векторам). Это следует из того, что если fi, f„ получается из Єї, ..., еп несобственно ортогональным преобразованием, то fі Л ... Л fn = => — е\ А ... Аеп.
Предыдущая << 1 .. 161 162 163 164 165 166 < 167 > 168 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed