Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
A(ft-I)
det Л= Z і4іГЛіг(-г/"""~"
r-(V|.-.V»)
Доказательство. Пусть їі = аце{ +
+ alnen<
Тогда
det Ae1 Ae2 А
fk = ак\Єі + ¦ • • + Чпеп>
fk+l = oft+l. & + • • • + Oft+I. „e„,
їп = апХЄі-\- ... +аппел.
А еп = (/, Л h А ... Л fk) A (h+i Л ... Л fn).
Но /і Л /j Л ... Л /а = Z Ліг^г. /ft+і Л ... Л fn= Z Л2дед, где Г
г д
«зі
ВНЕШНЯЯ АЛГЕБРА
пробегает все ^-элементные подмножества, а Л — все (л — k) -элементные подмножества множества M Ясно, что ег Л ед = 0, если ГПА непусто, а пусто оно, только если Д =* Г'. Следовательно,
detAejv = /! Л ••• Л L = Z Z^irA24ег Л вд =-
г д
= Z Ai гА2г'Єг Л er =• Z Ai гА2г ( — l)lnv(r-г г
Пусть Г = (vi, ук} и Yi < Y2 < • • • < Y*- Все элементы, меньшие, чем Yb находятся в Г', поэтому Yi составляет Yi — 1 инверсий с элементами из Г', далее, все элементы, меньшие, чем Y2, кроме Yi. находятся в Г', так что Y2 составляет Y2 — 2 инверсий с элементами из Г' и т. д. Таким образом, inv(T, Г') = Yi + • • • ...+Yft-l-...-/j = Yi+---+Yft- (* + О- Итак, det А = (—1) АігАгг, что и требовалось доказать.
г
Переставляя строки, легко доказать теорему Лапласа в общем случае, когда в матрице А выбраны любые k строчек. Мы предоставляем это читателю.
Следствие 6 (критерий линейной независимости в терминах ранга матрицы). Для того чтобы векторы /і = ацеі+ •••
. . . + ?lA, • • • , fk — <*к\Є\ + . . . + йкпЄп были Линейно НвЗави-
симы, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один минор k-го порядка матрицы А = (ац) был отличен от нуля.
Действительно, для линейной независимости необходимо и достаточно, чтобы /і Л ... Л fk Ф 0. Но f і Л • •. AL-Z^r^r, и
г
для f\ Л ... Л{кФ0 необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из миноров Ar был отличен от нуля.
9. Внешняя алгебра над пространством Евклида. Пусть в пространстве векторов имеется структура евклидова пространства, т. е. основное поле есть поле R вещественных чисел и в пространстве определено скалярное произведение. Пусть базис е\, е„, исходя из которого строится внешняя алгебра, ортонормален. Продолжим евклидову структуру на все пространство внешней алгебры, считая базис {ег} ортонормальный, так что скалярное
произведение элементов x=Z *гег и г/ = Z УгЄг paBHoZ *тУг-
г г г
При таком соглашении однородные элементы разных степеней будут ортогональны, так что градуировка определяет разложение пространства внешней алгебры в прямую ортогональную сумму подпространств однородных элементов.
Предложение 8. Пусть fu fk и gi.....g4 — dee системы векторов. Тогда скалярное произведение k-векторов fi А ... ... Afk и gj А ... Agk равно
(fu«i) {fi.e2) ••• (fi,8k)
(fk,8i) (fk,82) ... (fk,8k)
412
АЛГЕБРЫ
ІГЛ. KV
В частности, квадрат длины k-вектора Ь Л ... л f*• равен опреде-(fi.fi) ¦- if и ^
лителю Грама
, т. е. совпадает с квадратом
(fk.h) ¦¦¦ (fkJk)
объема параллелепипеда, натянутого на векторы fi, fk.
Доказательство. Пусть
h = °ЬЄі + ... + blnen, g, = спе, + ... + сыеп,
fk = ЬМЄ] + ... 4- Ьыеп, gk — ск\Єу + ... + cknen.
Обозначим через Br, Cr миноры, «вырезаемые» множеством Г из матриц В = (bij), С = (сц). Как мы уже знаем,
F = h Л ... Л ?r^r, G = gi Л ... Лй=Есгег.
г г
Поэтому (F1 G) = X ?rCr = det БСТ в СИЛу теоремы Бине —Коши (С7 — транспонированная матрица). Согласно правилу умножения
/Vu+ ••• + •Vu ••¦ Vai+ ••• +V*» \
матриц ВСТ ==\.......................... J =
\6*,сн + ...+bkncln ... bklckl+ ... +bknckn J
/(/¦.*•) ••• (L Sk) \
= ( .......... ), что и требовалось доказать.
MM.) ••• (ft.**)'
Чтобы получить частный случай, включенный в формулировку
Предложения, ДОСТатОЧНО ПОЛОЖИТЬ gl==/і, gk = fk-
Заметим, что скалярное произведение (F, G) ^-векторов зависит лишь от скалярных произведений (fi,gi), т. е. от взаимного расположения этих двух систем векторов друг относительно друга, но не от выбора системы координат. В частности, отсюда следует, что если fi, fn — ортонормальный базис исходного пространства и {Fp]—стандартные произведения базисных элементов, то для двух fe-элементных подмножеств Г] и T2
їв в \ і» » \ J ' ЄСЛИ Гі фТъ (Fr1, Fr1) = (ег„ еГг) = і , г г
если Г, = Г2,
ибо скалярные произведения векторов, составляющих Fr1 и Fr1» равны соответствующим скалярным произведениям векторов, составляющих eVl и er.,.
Таким образом, ортогональное преобразование координат в пространстве векторов вызывает ортогональные преобразования во всех пространствах ^-векторов, а следовательно, и во всем пространстве внешней алгебры, ибо оно разлагается в прямую ортогональную сумму пространств поливекторов.
10. Внешнее произведение векторов как направленный объем. Пусть задана упорядоченная система линейно независимых векто-
ІЗ]
ВНЕШНЯЯ АЛГЕБРА
413
ров Zi, fk в «-мерном евклидовом пространстве R". Напомним, что объем параллелепипеда, натянутого на эту систему, равен квадратному корню из определителя Грама: V2(fi, fk) =
