Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Фаддеев Д.К. -> "Лекции по алгебре" -> 164

Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.

Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре: Учебное пособие — M. Наука, 1984. — 416 c.
Скачать (прямая ссылка): lektsii-po-algebre.djvu
Предыдущая << 1 .. 158 159 160 161 162 163 < 164 > 165 166 167 .. 168 >> Следующая


ВНЕШНЯЯ АЛГЕБРА

405

Итак, наряду с исходной системой базисных элементов {егІГсіЛ/} внешней алгебры можно взять в качестве базиса любую систему {F11Г er N}, где Fr —стандартные произведения, построенные, исходя из какого-либо базиса fx, ..., /„ пространства векторов. В силу предложения 5 таблицы умножения для {Fr IГcz N} и {er\TczN} одинаковы, т. е. переход от базиса {ет} к базису {Fr} есть автоморфизм внешней алгебры. Сами элементы ет и Fr получаются из нумерованных базисов еи ..., е„ и fx,.'.., fn пространства векторов одинаковым способом — посредством составления стандартных произведений для каждого Г cz N.

6. Условие линейной независимости векторов в терминах внешней алгебры.

Теорема 6. Для того чтобы система векторов fx, f2, fk была линейно независимой, необходимо и достаточно, чтобы UAf2A ... Af4=^O.

Доказательство. Пусть система fi, f2, fk линейно независима. Тогда ее можно дополнить до базиса fx, f2, fk, fft+i. ..., fn- В силу сказанного в п. 5 стандартные произведения fvi Л fv2 Л • ¦ ¦ Л fvft- Vi < • ¦ • < У*, все отличны от нуля, в частности, UAf2A ... AJkФ0.

Если же система fx, f2, fk линейно зависима, то один из ее векторов fj есть линейная комбинация остальных: f\, ..., /;_ь //+і, • ¦ •, fk и произведение UA ... Л fk = fi А ... Л А А(сі/і+ ... + c/-if/-i + с/+-//+-+ ... +Ckfk)Afj+l А ... Afk есть линейная комбинация внешних произведений, в каждом из которых имеется пара равных сомножителей. Все они равны нулю. Тем самым теорема доказана.

7. Внешнее произведение п векторов. Пусть fi, — система из п векторов в пространстве с базисом е\, еп:

fx = ЯцЄі + аХ2е2 + ... + atnen, f2 = а2Хех + а22е2 + ... + а2пеп,

fn = <*пхЄі + ап2е2 + • • • + аппеп.

Матрицу коэффициентов (ац) обозначим через А.

Рассмотрим fiAf2A ... Afn. Из предыдущего ясно, что это произведение есть однородный элемент степени я, и, следовательно, лишь множителем а отличается от ем = ех А е2 А ... Л еп. Из свойств внешних произведений мы можем без вычислений сказать о некоторых свойствах этого множителя. Из дистрибутивности внешнего умножения следует, что этот множитель есть линейная функция от каждого из сомножителей, т. е. линейная функция от элементов каждой строки матрицы А. Далее, этот множитель меняет знак при перестановке двух сомножителей, т. е. при перестановке двух строк матрицы. Наконец, если матрица А единичная, т. е. f, = ej, I= 1, 2, п, то множитель а равен 1. Мы знаем,

406

АЛГЕБРЫ

Сгл xv

что этими свойствами обладает определитель матрицы А, и, более того, можно показать, что определитель характеризуется этими свойствами- Таким образом, должна быть верна формула:

Z1Af2A ... Afn = det Ae1 Ae2A ... 1ZKen. (1)

Убедимся в этом прямым вычислением. Имеем

п

f і Л h Л . . . Л fn = E olai02a2 ¦ • • а«а„Єаі Л Єа2 Л . . . Л Єа . а,, ...,а„-1

Здесь индексы CC1, а2, сся независимо пробегают значения 1, 2, п. Значительная часть слагаемых в правой части равна нулю. Именно, это будет, если среди значений индексов OCb «2, ... ..., ос„ встретится хотя бы пара равных. Если же значения Cc1, «2, ..., ос„ попарно различны, то они образуют перестановку чисел 1,2, ..., л, и тогда

еЛ1 Аеа2А ... Л еап = ( - l)inv Сі. -> в»> е, Л е2 Л ... Л еп.

Итак,

U Л Ї2 Л ... Л f„ =

= I ( - l),nv (e- e* а">а1а1а2„2... а^ЛъЛ... Ле„ =

= det А ві Л е2 Л ... Aen,

согласно определению определителя (под знаком суммы (ось а2,... ..., а„) пробегает все перестановки чисел 1,2, ..., п).

Заметим, что если базисные векторы еь е2, еп заменить на любую систему векторов gi, g2, gn (быть может, зависимую), то в силу п. 4 все вычисления сохраняются, так что если

U=CtHg1 + ... +Ctingn,

fn = ctnigi + ... +anngn,

тде gi, gi, gn — любая система векторов, то fi Л ... Afn=' = det A gi Л ... Agn, где А = [ац).

Выведем теперь в качестве следствий из формулы (1) некоторые свойства определителей, ранее полученные другими средствами.

Следствие 1. Для того чтобы векторы fi, fn были линейно независимы, необходимо и достаточно, чтобы det А Ф 0.

Для этого заключения достаточно сопоставить формулу (1) с теоремой 6.

Следствие 2 (теорема об определителе произведения двух квадратных матриц). Пусть

/i = bugi + ... + bingn, gi = спеі + ... + сХпеп,

h = b2igi + ... + b2ngn, g2 = cnei + ... + c2nen,

И

fn = balgl + • • - + bnngn gn = CnIe1 + ... + сппєп,

«зі

ВНЕШНЯЯ АЛГЕБРА

407

причем ех, е2, еп — линейно независимая система. Тогда

h = я2іЄі + • • • + а2пеп,

/п = а„,еі + ... +аппеп,

причем Л == ВС, А = (аа), В = (Ьц), С = (с,7).

Применив формулу (1), получим, с одной стороны,

UAf2A ... A/„ = det?g, Ag2A ... "Agn =

= det В det С е\ Ae2 А ... А еп-

C другой стороны, fi Af2 А ... Л /„ = det А е\ А е2 А ... Aen. Сравнив коэффициенты при Є)Ле2Л ... Aen, получим det^4 = = det В det С.

Следствие 3 (формула для определителя ступенчатой матрицы). Пусть

1U •
•• а1А
0
. 0

(А1 •

0
. 0

1A+1. 1 '
Предыдущая << 1 .. 158 159 160 161 162 163 < 164 > 165 166 167 .. 168 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed