Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
Элементы внешней алгебры нулевой степени являются кратными элемента е0, который, очевидно, есть единица внешней алгебры. Поэтому элементы нулевой степени естественно отожде-
ВНЕШНЯЯ АЛГЕБРА
403
ствить с элементами основного поля и называть скалярами. Элементы первой степени образуют п-мерное пространство, натянутое на базисные векторы е\, е2, еп (мы обозначаем одноэлементные множества {1}, {п} просто 1.....п, что здесь
не приведет к недоразумению). Элементы первой степени будем называть векторами и образованное ими пространство считать пространством, над которым построена внешняя алгебра.
Однородные элементы степени 2 называются бивекторами, степени 3 — тривекторами и т. д.; общий термин — поливекторы.-
Как уже было сказано, пространство /--векторов имеет размерность Cn. В частности, пространство л-векторов одномерно, его элементы имеют вид сен при с ^ К; пространство (п—^-векторов л-мерно, и вообще, пространства /--векторов и (п — г)-векторов имеют одинаковую размерность. Из определения произведения ясно, что er = etl Аеі2А ¦ ¦ ¦ Aeir, если Г = {t'l, i2, ...,ir} и t'i < h < ••• < ir. Поэтому общий вид г-вектора есть
z «'''•'"si Ae12A ... Авіг. г,<г2<...<гг
Если (/1,/2, Jr)—какая-либо перестановка чисел i'i,/2, ir, то еп Ae12 А ... Лв/Г = (- l)'nv (/l> ••- 'г)ец Ae12A ... A elf. Выписав индексы ti, 1*2, • • •. ir во всех возможных порядках и
ПОЛОЖИВ б'і'г-" Л- = J_( — l),nv('l, h, — Іг)с'і1і — Ігг ПОЛУЧИМ ЗЭПИСЬ
r-вектора в тензорной форме: ft'1'2 *" ireix Ae12 А • ¦ • Л ejr. Совокупность коэффициентов b'2 "'/г составляет антисимметричный кон-травариантный тензор.
4. Свойства внешнего умножения векторов.
Предложение 1. Пусть f— вектор. Тогда f Af = Q.
Действительно, если / = а\ві + а2е2 + ... + апеп, то /Af =
п п п
= z z <>л,(в, Ле,)= z а\(в, Л в() + z ^a1 (в, Л«( + е. А в,) =
= О, ибо ЄіЛЄ( = 0, е,Ле/ = е{</)и в/Л є,- = — е{і/} при t < /.
Предложение 2. Пусть f\ и f2 — два вектора. Тогда f\ Л Af2 = —ft А /,.
Действительно, 0 = (/1 + fa) Л (/, + /2) = f, Л f, + /, Л /2 + /2 Л Л/, + f2 Af2 = /1Af2 + fa Af1.
Предложение 3. Если во внешнем произведении f 1 Л ... ... Л fk имеется хотя бы одна пара равных сомножителей, то оно равно нулю.
Действительно, попарно переставляя соседние множители, добьемся того, чтобы равные оказались рядом.
Предложение 4. Пусть f\, f2.....fk —- векторы и (а,, а2____
..., (Xk) —перестановка чисел 1, 2, ..., k. Тогда fal A fa2 А ¦ • ¦
...Л/ад = (_і)-(«і,«2,..,аА)/іЛ/2Лі>> л/а>
404
АЛГЕБРЫ
[ГЛ. XV
Доказательство. От расположения /0l, /а2, /„ можно перейти к расположению f\, /2, /*¦ посредством транспозиций соседних элементов- При каждой такой транспозиции меняется знак внешнего произведения. Четность или нечетность числа нужных транспозиций совпадает с четностью или нечетностью числа инверсий inv(ab а2, а*), что и доказывает предложение.
Пусть теперь даны векторы /1,/2, fm, m =? гс, и пусть Г== = {Yi> Y2. •••. y*} — подмножество множества {1, 2, т}. Будем считать, что yi <. у2 <. ... <. у и- Внешнее произведение fvi Л fv2 А • • ¦ Л ffk назовем стандартным (по отношению к выбранной нумерации векторов /1,/2, fm) и обозначим через Fr. Ясно, что если индексы осі, а2, ..., а& составляют множество Г, так что лишь порядком отличаются от 7ь 7г, ..., 7*, то /а1 Л Z02 Л •.. ... д fak = ( — 1)1пу(аьа2. ¦••."A)Pp. Это следует из предложения 4,
Предл ожен ие 5. Fr1AFr2 = O, если 1\ Л Т2ф 0, UFr1AFr2 = = (_ iynv<r,.r,)FriUri> если ГіПГ2=0.
Доказательство. Пусть Г, = {yi> yk), Yi < Y2 < • • • ... < Yb и Г2 = {Yfc+i, . •., Y/}. Yft+i < • • • < Yi- Тогда /=>, Л Fr2 = = /v, Л Zv2 Л ... Л Uk Л fvfc+i Л ... Л U1. Если Гі f] T2 Ф0, то среди множителей в последнем произведении найдутся равные, и произведение равно 0. Если же Гі Г) Г2 = 0, то
Fr1 Л Fr, = ( - l)'nv (v" v* v'>Fr,u r,=(-D'nv (Г" r2)f r,ur2>
ибо inv(Yi, Y2.....Yfc> Yft+i. •••> Yz) = inv(Гь Г2).
5. Автоморфизмы внешней алгебры. Пусть векторы /ь ...,/„ линейно независимы и число их равно размерности пространства векторов, так что они образуют базис. Докажем, что элементы Fr, когда Г пробегает все подмножества множества N= [I,..., п}, составляют базис внешней алгебры. Число элементов Fr равно, очевидно, размерности внешней алгебры, так что нам достаточно показать, что элементы Fr порождают внешнюю алгебру как векторное пространство. Но это почти очевидно—исходные базисные ЭЛемеНТЫ Є\, . . . , Єп являются линейными комбинациями /і, /„, и, следовательно, при любом Г cz N, ег = еУі А еУ2 А • •. Л еУк есть линейная комбинация внешних произведений векторов fit /„, взятых по К. Все такие произведения либо равны нулю, либо с точностью до знаков являются стандартными произведениями. Таким образом, стандартные произведения Fr порождают в виде линейной комбинации все базисные элементы er внешней алгебры, а значит, и все элементы внешней алгебры являются их линейными комбинациями, что и требовалось доказать.
Заметим, что из приведенного рассуждения следует линейная независимость всех 2" стандартных призведений Fr и, в частности, неравенство нулю каждого из них.
