Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Фаддеев Д.К. -> "Лекции по алгебре" -> 159

Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.

Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре: Учебное пособие — M. Наука, 1984. — 416 c.
Скачать (прямая ссылка): lektsii-po-algebre.djvu
Предыдущая << 1 .. 153 154 155 156 157 158 < 159 > 160 161 162 163 164 165 .. 168 >> Следующая


Равенства /2 = /2 = К2 = —Е, IJ = — JI = K, JK = — KJ = I, KI = —IK = / легко проверяются. Они означают, что пространство матриц, натянутое на матрицы Е, I, J, К, образует алгебру, изоморфную алгебре кватернионов.

На основании ассоциативности умножения матриц мы заключаем об ассоциативности алгебры кватернионов.

Заметим, что если за основное поле принято поле С, комплексных чисел, то алгебра кватернионов (над .Q) окажется изоморфной алгебре M2(C) всех квадратных матриц второго порядка над С; ибо матрицы Б, I, /, К линейно независимы над [CJ и их линейные комбинации заполняют всю алгебру M2(C).

2. Связь алгебры кватернионов с векторами в трехмерном евклидовом пространстве. Пусть а = а + Ы + с] + dk — кватернион. Число а называется скалярной частью кватерниона. Кватернион

АЛГЕБРА КВАТЕРНИОНОВ

395

Ы + с] + dk называется векторной частью кватерниона а. Кватернионы с нулевой скалярной частью будем называть векторами, они, естественно, изображаются как векторы трехмерного евклидова пространства.

Пусть Ui = bii + C1/ + dik яй!» b2i + C2] + d2k — два вектора. Вычислим их произведение (в алгебре кватернионов)

UiU2 = bdb2i + bItC3J + biid2k + cijb2i + CiJc2J + Ci\d2k + + dxkb2i + dikc2\ + dikd2k = — bxb2— C1C2- d{d2+ (cid2— did) i-f-+ (dib2 — bxd2) j + (bi C2 — cib2) k = — (иі, M2) + [иі, M2]

(здесь [иь M2] — векторное произведение векторов M1 И U2).

Таким образом, скалярной частью кватерниона M1M2 оказывается скалярное произведение векторов Uu и2, взятое с обратным знаком. Векторная же часть кватерниона M1U2 равна векторному произведению векторов Ui, U2. Тем самым операция умножения векторов как элементов алгебры кватернионов как бы объединяет оба умножения векторов — скалярное и векторное.

Далее, легко видеть, что

U2Ui = — (M2, MO-T-[H2, M1] = —(М|, M2) —[U1, U2].

Отсюда

(M1, H2) = — Y (M1M2 + H2M1), [M1, H2] = у (M1M2 — H2M1).

Из последней формулы немедленно следует известное в векторной алгебре соотношение Якоби [[щ, U2], M3]+ [[M2, м3], M1] + + [["з, Ui], U2] = 0. Достаточно принять во внимание связь между ассоциативными алгебрами и алгебрами Ли (см. п. 3 § 1).

3. Алгебра кватернионов как алгебра с делением. Пусть дан кватернион а = а + Ы + с/ + dk = а + м. Кватернион a = а — — Ы — с/ — dk = а — м, отличающийся от а знаком векторной части, называется сопряженным с кватернионом а. Ясно, что а =¦ а.

Умножим кватернион а на сопряженный а. Получим ao = = (а + и) (а — н) = а2+ ам — аи — и2= а2 +(и, и) — [и, и] = а2+ + (м, м) = a2 + b2 + с2 + d2. Поэтому, если аФО, то aa. > 0. Заметим еще, что aa = aa.

Число л/aa = дДг2 + b2 + с2 + d2 называется модулем кватерниона а и обозначается через |а|. Теперь легко установить, что каждый отличный от нуля кватернион а имеет обратный. Действительно, {-—jT- a) a = a (~ a) = 1, так что обратным кватернионом

для а является -4г- • a. Таким образом, алгебра кватернионов над полем R есть алгебра с делением.

Заметим, что здесь существенно было использовано то обстоятельство, что за основное поле принято поле R: заключение о не-

396

АЛГЕБРЫ

ІГЛ. XV

равенстве нулю о2 + b2 + с2 + d2 при а ф О было бы неверно, например, для поля С или поля вычетов по простому модулю.

4. Тождество Эйлера.

Теорема 3. Модуль произведения двух кватернионов равен произведению модулей сомножителей.

Доказательство. Сначала докажем, что кватернион, сопряженный с произведением двух кватернионов, равен произведению сопряженных кватернионов, взятых в обратном порядке. Действительно, пусть а = о + «, ? = Ь + у, где а, t> єн R, и и v— векторы. Тогда a? = ab + av + bu + uv = ab — (и, v) + av + bu + + [«, v). Далее, ?a = ab — av — bu -\- vu = ab — (v, и) — av — bu + [-\-[v, u)=ab — (u, v)—av — bu — [u,v]=a\5. Теперь имеем |a?|2= ==a?-a? = a??cl =a|?|2a =|?|2|a|2, откуда |a?| = |a| |?|, что и требовалось доказать.

Распишем теперь тождество fa?|2 = |a|2| ?|2 через компоненты кватернионов, положив а = ах— b\i — C\j — d\k, ? = O2+ -\- b2i-\- c2j -\- d2k, так что a? = axa2 + bxb2 + C\C2 + dxd2 + (axb2—

— /JiO2 — Ciof2 + dic2)i + (aic2 + bxd2 — cxa2 — dxb2)j + (axd2 —

— bxc2-\- cxb2 — dxa2)k. Получим известное тождество Эйлера:

(a2 + b2 + c2 + d2)(al + b2 + c2 + dl)= ¦

= (a,a2 + bxb2 + C1C2 + dxd2)2 -f- (axb2 — bxa2 — cxd2 + dxc2)2 +

+ (aic2 + bxd2 — C1O2 — dxb2)2 + (O1Cf2 — bxc2 + cxb.2 — d,o2)2,

позволяющее выразить произведение двух сумм четырех квадратов в виде суммы четырех квадратов билинейных выражений. Аналогичные тождества имеют место для сумм двух квадратов (это тождество связано с умножением комплексных чисел) и для сумм восьми квадратов. Это последнее тождество связано с умножением в так называемой алгебре Кэли — некоторой уже не ассоциативной алгебре с делением размерности 8. Оказывается, что аналогичных тождеств для сумм п квадратов, кроме перечисленных при п = 2, 4, 8 (и тривиального тождества при п = 1), не существует.

5. Вращения трехмерного евклидова пространства. Пусть и, v, w — тройка попарно ортогональных векторов единичной длины, ориентированная так же, как тройка i, j, k. Тогда, согласно правилу умножения векторов в алгебре кватернионов, получим и2 = = v2 = w2 =—1. Далее, uv = — (и, t)) + [u, v] = [u,-v] = w. Здесь мы воспользовались тем, что векторное произведение взаимно ортогональных единичных векторов равно единичному вектору, ортогональному к ним обоим и направленному в соответствии с ориентацией базисных векторов i, j, k. Аналогично, vu = —w, Vw = — wv = u, Wu = — uw = v. Таким образом, правило умножения векторов и, V, w ничем не отличается, кроме обозначений, от правила умножения векторов i, j, k. Иными словами, отображение 11—1, ii—>«, \\—>v, k>—>w задает изоморфизм алгебры ква-
Предыдущая << 1 .. 153 154 155 156 157 158 < 159 > 160 161 162 163 164 165 .. 168 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed