Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
4. Пусть {— фиксированный многочлен степени п из K[t]. Классы сравнений по модулю f образуют алгебру размерности п.
Все эти алгебры ассоциативны. Все они, кроме алгебры квадратных матриц, коммутативны. Примером неассоциативной алгебры может служить пространство векторов в трехмерном евклидовом пространстве с умножением в смысле векторного умножения.
Мы будем рассматривать только конечномерные алгебры.
С каждым элементом х алгебры А связаны два оператора, действующие в линейном пространстве алгебры. Это оператор при-
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
389
вого умножения 9Ix: у ух, сопоставляющий каждому элементу у е А его произведение на х справа, и оператор левого умножения 3?х: yir—^xy. Оператор Mx линеен в силу линейности умножения в алгебре относительно левого множителя. Далее, отображение X ¦—^SIx пространства алгебры А в пространство 5 линейных операторов тоже линейно в силу линейности умножения в алгебре относительно правого множителя. Аналогично, линеен оператор Sx и линейно отображение х-—>&х- Операторы правого и левого умножения связаны очевидным соотношением: 3?х(у) = &у(х).
Задание некоторого линейного отображения х<-^*(рх данного векторного пространства А в пространство S линейных операторов, действующих в А, можно рассматривать как задание алгебры, для которой операторы ср* суть операторы правого умножения. Действительно, если для элементов х, у ^ А положить ух = Фа-(у), то линейность этого умножения относительно первого множителя обусловливается линейностью операторов ф*, а линейность относительно ВТОРОГО МНОЖИТеЛЯ — ЛИНеЙНОСТЬЮ Отображения Х<—>фдг.
Аналогично алгебра может быть задана и посредством задания операторов левого умножения.
Две алгебры AhB называются изоморфными, если существует взаимно однозначное линейное отображение А на В, преобразующее произведение прообразов в произведение образов.
Например, алгебра С комплексных чисел (как алгебра над полем R) изоморфна алгебре вещественных матриц вида
(б а)" Действительно, отображение ф:ф(a + w) = (^ _а)
линейно, взаимно однозначно и
9[(a + bl){c + di)] =
( ас — bd —ad — be \ (а —Ъ\(с — d \ , . ... , , ... ^ К ad+ be ac-bd) = U a){d е )=9(a+b)ip(c+dl).
Взаимно однозначное соответствие
/о с ь \ (-с Oa) 4-6 -а 0 /
(а, Ь, с)
между тройками вещественных чисел и антисимметричными матрицами третьего порядка есть изоморфизм алгебр, если тройки умножать по правилу векторного умножения векторов, заданных в декартовой системе координат, а «произведением» матриц L и M считать LoM = LM — ML-
2. Структурные константы алгебры. Для того чтобы описать правило умножения в данной конечномерной алгебре, достаточно задать «таблицу умножения» для какого-либо ее базиса, т. е. записать произведение каждой пары элементов выбранного базиса в виде линейной комбинации его элементов: efij = o,kijek; aks є К (мы пользуемся тензорными обозначениями). Константы akf назы-
890
АЛГЕБРЫ
(ГЛ. XV
ваются структурными константами алгебры. Покажем, что они составляют дважды ковариантный и один раз контравариантный тензор. Пусть /р = с'ре{ — новый базис алгебры. Тогда ek = \rJr-Далее, fpfq = cpcijeiej = c\p\fiki^k==aKcpc>qyrklr, так что новые структурные константы а^с1рсчугк получены из исходных по правилу преобразования дважды ковариантного и один раз контравариант-ного тензора. По этой причине набор структурных констант называют также"структурным тензором.
Если алгебры А и В изоморфны, то в соответствующих (в силу изоморфизма) базисах структурные константы совпадают. Ясно и обратное, если у двух алгебр структурные константы совпадают, то сопоставление базисных элементов осуществляет изоморфизм алгебр. Поэтому для изоморфизма двух алгебр необходимо и достаточно, чтобы в них существовали базисы, определяющие одинаковые структурные тензоры. Следовательно, для того чтобы алгебры, заданные структурными тензорами в некоторых базисах, были изоморфны, необходимо и достаточно, чтобы эти структурные тензоры были связаны соотношением a'pq = akjCpcqyrk при некоторых ср.
3. Некоторые классы алгебр. Как уже было сказано выше, алгебры с ассоциативным умножением называются ассоциативными алгебрами. Ассоциативность будет иметь место, если выполнены п3 равенств: (вів,)ек = Єї(е,Єк), где в\, еп— какой-либо базис алгебры. Запишем это условие в терминах структурных констант. Имеем: е,е, = aPfp, (е,е;) ek = аРцерек = а^рке„. Далее, еfk= = arjker, ci{ejek) = arjkeier = arjka4ireq. Таким образом, условие ассоциативности имеет вид а^.а^ = а^а?..
Положив aPla^k = arlkafr = bflk, получим, что bqijk есть тензор структурных констант для тройных произведений eiejek = b4ijkeq
ассоциативной алгебры.
В терминах операторов умножения условие ассоциативности формулируется проще и естественнее. Именно, ассоциативность эквивалентна каждому из трех следующих свойств операторов умножения (записанных как левые операторы, т. е. первым действующим считается тот, который записан справа):
1) Я.ху 0iy9tх, 2) 9IxSy=1SySIx, 3) S ху = SxSy.
