Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
3. Свертка. Пусть имеется тензор aP'>k, имеющий как верхние, так и нижние индексы. Приравнивая один верхний индекс к одному нижнему, мы должны, по соглашению об обозначениях, просуммировать по этому индексу, и в результате получится система элементов, в верхних и нижних номерах которых останется на одну единицу меньше, так что можно положить 6fy = apkk. Эта
операция называется сверткой тензора.
Предложение 2. Свертка произведения тензора на символ Кронекера, как по верхнему, так и по нижнему индексу этого символа, не меняет тензор по существу и сводится только к переименованию индекса.
Действительно, сумма affkosq имеет лишь одно слагаемое, отличное от нуля, именно то, для которого значение символа Кронекера равно 1, т. е. при q — s. Поэтому aPfkoq = aP^k. Аналогично,
Предложение 3. Результатом свертки тензора является тензор.
Доказательство. Пусть дан тензор apqik. Обозначим affk через Ъ\.. Пусть е'а = с^бр — замена базиса. Тогда компоненты тензора aPfk преобразуются по формуле
Переход к требует положить V = TH просуммировать ПО V. Это дает 6J? = aukciclcv4ap4*q- Но сумма с*у* равна б*, и сумма
382
ЭЛЕМЕНТЫ АЛГЕБРЫ ТЕНЗОРОВ
ІГЛ. XIV
а[Дб* по q и k равна сумме affk = bpir Итак,
b'a =bP.dcl\a. Это значит, что действительно есть тензор.
§ 3. Симметричные и антисимметричные тензоры
1. Применение подстановки к индексам ковариантного тензора.
Пусть U11I2... I1n—ковариантный тензор валентности т и о — некоторая подстановка чисел 1, 2, т. Применив эту подстановку к номерам индексов, мы получим систему чисел, занумерованную-т индексами ju J2, }т, где Д = /10, ]'m = ima- Из формул преобразования компонент тензора, которые имеют одинаковый вид для всех индексов, заключаем, что мы снова получим /п-кова-риантный тензор. Операцию применения подстановки к номерам индексов можно рассматривать как обобщение операции транспонирования матрицы.
2. Симметричные тензоры. Тензор называется симметричным, если он не меняется в результате всех подстановок номеров индексов, т. е. если его компоненты не изменяются при всех перестановках индексов.
Примером симметричного ковариантного тензора валентности m при индексах, меняющихся от 1 до п, может служить набор коэффициентов формы степени ш от л переменных, если сомножители в каждом одночлене рассмотреть во всех возможных порядках и коэффициент разделить поровну по всем записям одночлена. Запись такой формы принимает вид
4i2...im^x^...xi^
(верхние индексы мы ставим в скобки, чтобы не перепутать с показателями степени, которые здесь естественно возникают при равных значениях индексов) с симметричным тензором коэффициентов.
Иногда применяется операция симметризации тензора. Эта операция заключается в том, что производятся все т\ подстановок номеров индексов, результаты складываются и делятся на т\. В результате операции симметризации получается симметричный тензор.
Нетрудно проследить, что тензор коэффициентов произведения двух форм равен результату симметризации произведения тензоров коэффициентов перемножаемых форм.
Симметризацию тензора иногда применяют по части индексов и применяют ее не только к ковариантным, но и к смешанным тензорам, в последнем случае по всем (или части) нижним индексам и отдельно по всем (или части) верхним индексам.
ТЕНЗОРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВ
383
3. Антисимметричные тензоры. Ковариантный тензор ai{^.,.im называется антисимметричным, если две его компоненты, получающиеся одна из другой переменой местами двух индексов, отличаются только знаком. Ясно, что тогда любая компонента с хотя бы одной парой одинаковых значений индексов равна нулю. Далее, если система индексов получается из другой посредством четной подстановки, то компоненты равны, если же системы индексов связаны нечетной подстановкой, то они отличаются знаком. Полилинейная форма F(X1, • -О = 0., Х\1ХЬ ••• xi'n с
антисимметричным тензором коэффициентов антисимметрична,
Т. Є. F(X1, Xi, Xj, Xn) = —F(X\, .... х/, X; •¦•
хт). Если валентность т меньше числа п возможных значений для индексов, то в индексации каждой компоненты встретятся одинаковые значения, так что все компоненты тензора равны нулю.
Интересен случай, когда т = п. В этом случае ненулевые компоненты будут иметь индексы (/і, i2, in), среди которых нет равных, т. е. они представляют собой перестановки чисел 1. 2, ...
п. Если положить ai, 2,п = а, то остальные компоненты равны
Соответствующая полилинейная форма будет равна
Подобно симметризации рассматривается антисимметризация, При которой все тензоры, получающиеся при подстановках индексов, складываются со знаками + или — в зависимости от четности или нечетности подстановки индексов.
§ 4. Тензорные произведения векторных пространств
1. Определение тензорного произведения. Пусть 5 и T — два векторных пространства над полем К. Рассмотрим пары векторов (х, у) при X е S, у е T и их формальные суммы
Введем следующие эквивалентности:
1) (ах, у) ~ (х, ау) при а є К;
