Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
Соответственно, формулы преобразования координат для координат вектора и ковектора записываются в виде х" = \'кхк, I1 = = C^l1. Значение ковектора (линейной функции) с координатами U на векторе с координатами х' записывается в виде Ux1. Элементы /| произведения матриц А = (а\) и В == (bi) запишутся в виде
fi =a'bk
Эти сокращенные обозначения оказываются удобными иногда и за пределами алгебры.
3. Примеры тензоров. Примеры контравариантного и кова-риантного тензоров валентности 1 мы уже видели — это наборы координат вектора в некотором базисе и, соответственно, ковектора в дуальном базисе.
В качестве следующего примера рассмотрим матрицу коэффициентов линейного оператора. Она может рассматриваться как тензор, один раз контравариантный и один раз ковариантный. Действительно, строки матрицы следует занумеровать верхними индексами, столбцы — нижними. Равенство у = Ax запишется в виде у1 = а1{хК Матричная форма записи матрицы оператора при преобразовании координат А-+С~ХАС совпадает с тензорной записью a'l = атукс™. Суммирование по т соответствует умножению справа на матрицу преобразования координат, суммирование по k соответствует умножению слева на обратную матрицу.
В частности, символ Кронекера, связанный с единичным оператором, является тензором, однократно ковариантным и контравариантный. Матрица коэффициентов квадратичной формы, рассматриваемой как функция от координат вектора, есть дважды ковариантный тензор. Действительно, сама квадратичная форма есть аих'х1. При преобразовании координат х1 заменяются на скх'к, значение формы превратится в ацс\с^тх' х'т, т. е. ее коэффициенты превращаются в аискст = а'кт, преобразуясь по правилу преобразования дважды ковариантного тензора. Суммирование по / равносильно умножению матрицы формы справа на матрицу преобразования, суммирование по і можно рассматривать как умножение слева на матрицу, транспонированную с матрицей.
380
ЭЛЕМЕНТЫ АЛГЕБРЫ ТЕНЗОРОВ
[ГЛ. XIV
преобразования координат, в полном совпадении с формулой преобразования A-^C7AC Тензор коэффициентов квадратичной формы обладает свойством симметрии ац = ац, которое, разумеется, сохраняется при преобразовании координат.
Полилинейной функцией от нескольких векторов называется функция, линейная относительно каждого вектора. Рассмотрим полилинейную функцию от трех векторов одного и того же n-мерного пространства и двух ковекторов. В координатной записи она имеет вид afjkxixlxkypyg. Здесь хт — координаты векторов, ys —
координаты ковекторов в дуальном базисе. Набор коэффициентов affk является тензором, трижды ковариантным и дважды контравариантным.
В следующей главе мы познакомимся с некоторым один раз контравариантным и два раза ковариантным тензором, естественно возникающим в пределах самой алгебры. Тензоры более высоких валентностей играют существенную роль в геометрии римановых пространств и в теоретической физике.
§ 2. Действия над тензорами
1. Сложение и умножение на число. Суммой двух тензоров одинакового типа называется тензор, компоненты которого равны суммам соответствующих компонент слагаемых:
(а+ = +6™.
То, что сумма тензоров действительно является тензором, ясно из формулы преобразования компонент при замене базиса.
Произведением числа а на тензор называется тензор, полученный из исходного умножением всех компонент на а:
Из этих определений ясно, что тензоры одинакового типа составляют векторное пространство, размерность которого равна степени п с показателем, равным полной валентности.
2. Умножение тензоров. Произведением тензоров affa и
называется система чисел ар{$а(ъ = а%6ар в предположении, что все индексы независимо принимают допустимые значения. Легко видеть, что произведение тензоров есть тензор. Действительно, при замене базиса e'm = cmev компоненты преобразуются по формуле
ins* _ PQ Jl kr s.% ab* __dpq\ Ji cVcVVv"
т. е. по формуле изменения компонент тензора пятикратно кова-риантного и трехкратно контравариантного. При умножении тензоров их валентности складываются.
ДЕЙСТВИЯ НАД ТЕНЗОРАМИ
381
Аналогично определяется произведение любого числа тензоров.
Тензор называется разложимым, если его можно представить в виде произведения тензоров валентности 1.
Предложение 1. Любой тензор можно представить в виде линейной комбинации разложимых тензоров.
Доказательство. Зафиксируем базис пространства е\,... ..., еп и рассмотрим векторы et и ковекторы fi, составляющие дуальный базис. Их координаты равны нулю, кроме одной, равной единице. Тензор, равный произведению тензоров из координат этих векторов и ковекторов, имеет единственную компоненту, равную 1, и остальные нули, причем 1 можно получить в любом месте тензора. Следовательно, любой тензор является их линейной комбинацией.
Наименьшее число разложимых тензоров, линейной комбинацией которых является данный тензор, называется его рангом. Легко видеть, что тензор полной валентности 2 имеет ранг, равный рангу соответствующей матрицы. Вопрос об определении ранга полной валентности 3 и выше еще не получил алгорифми-ческого решения в общем виде, и возможно, что даже вопрос о существовании алгорифма не является бесспорным.
