Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
366
ЕВКЛИДОВО И УНИТАРНОЕ ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ. XIII
5. Ортогональные операторы. Ортогональный оператор имеет ортогональную матрицу в любом ортонормальном базисе. Так как ортогональный оператор нормален, существует ортонормальный базис, в котором матрица оператора блочно-диагональна и состоит из вещественных чисел Xi на диагонали и блоков вида
ортогональности такой матрицы следует, что Xi =
= ±1, и в каждом блоке второго порядка a2 + b2 = 1. (Это можно увидеть также из того, что ортогональный оператор становится унитарным при продолжении на комплексификацию, и, следовательно, все его собственные значения равны 1 по модулю.)
Можно положить O = COSq), b = sin ф. Оператор на плоскости
„ / COS ф sin ф \
с матрицей I4-8J0(P C0Sq)J есть оператор вращения плоскости на угол —ф.
Ортогональный оператор называется собственно ортогональным, если определитель его матрицы равен Г, если же определитель равен —1,то оператор называется несобственно ортогональным. Порядок базисных векторов можно выбрать так, чтобы по диагонали следовали сначала 1, потом —1 и за ними блоки второго порядка. В случае, если оператор собственно ортогонален, число диагональных элементов, равных —1, четно. Матрицу второго порядка ^ о —1 ) УД°бно рассматривать как блок второго
( cos Jt sin Jt \
порядка I ), геометрически означающий поворот пло-
\ SItI ЗХ COS Jt /
скости на я.
Таким образом, действие собственно ортогонального оператора геометрически означает следующее. Пространство разбивается в ортогональную сумму подпространств, одно из которых натянуто на собственные векторы, принадлежащие собственному значению 1, — это подпространство неподвижных векторов, и нескольких двумерных подпространств, каждое из которых вращается на некоторый угол (вообще говоря, разные плоскости на разные углы).
В случае несобственно ортогонального оператора имеется еще один базисный вектор, переходящий в противоположный под действием оператора.
§ 6. Преобразование уравнения гиперповерхности второго порядка к каноническому виду
1. Пространство точек. Пусть дано векторное пространство S. Пространством точек для 5 называется однородное пространство M для аддитивной группы пространства 5 с нулевыми стабилизаторами для всех точек M (заметим, что, в силу коммутативности группы, стабилизаторы всех точек совпадают).
ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
367
Подробнее, M есть множество объектов, называемых точками, для которых определено действие сдвига на вектор, переводящее точку в точку.
Записывая эту операцию знаком +, мы придем к следующим свойствам этой операции:
1. (m + х) + у = т + (х + у), где m єМ, х, у є 5.
2. m + 0 = т, где 0 — нулевой вектор.
3. Для любых точек т\ и т.2 из M найдется такой вектор х, что
tU\ + X = /Л2.
4. Если m + X = т, то X = 0.
Первые два требования означают, что M есть множество, на котором определено действие «сдвига» на векторы из S, т. е. M есть S-*"-множество (здесь S+ обозначает аддитивную группу пространства 5). Третье условие означает однородность M как 5+-множества. Наконец, четвертое, — что стабилизаторы всех точек состоят только из 0.
Зафиксировав некоторую точку то в М, мы можем сопоставить каждой точке т из M вектор, переводящий то в т. Этот вектор назовем координатным вектором для т при выбранном начале координат т0. Соответствие между точками и их координатными векторами взаимно однозначно. Началу координат соответствует нулевой вектор.
Если изменить начало координат, перенеся его на вектор хо в точку т'а, то координатные векторы х и х' любой точки тєМ относительно начал то и то связаны очевидным соотношением
X = X0 + х'.
Выбор начала координат в пространстве точек и выбор базиса в векторном пространстве 5 дает возможность сопоставить каждой точке ее координаты, именно, координаты координатного вектора точки относительно выбранного базиса.
Если S — евклидово пространство, то соответствующее пространство точек называется евклидовым- Координаты точек относительно некоторого начала и ортонормального базиса в 5 носят название прямоугольных координат. Преобразование координат при фиксированном начале, но с переходом от одного ортонормального базиса S к другому, называется преобразованием поворота осей. В дальнейших пунктах этого параграфа пространство точек будет предполагаться евклидовым.
2. Алгебраические гиперповерхности. Множество всех точек в пространстве, координаты х\, ..., Xn которых связаны соотношением F(Xu хп) = 0, где F — полином с вещественными коэффициентами, называется алгебраической гиперповерхностью. Степень полинома F называется степенью или порядком гиперповерхности.
Гиперповерхности первой степени называются гиперплоскостями. В векторной форме уравнение любой гиперплоскости можно
368
ЕВКЛИДОВО И УНИТАРНОЕ ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ. ХІИ
записать в виде (ft, х) = р, где Ь — некоторый ненулевой вектор, X — координатный вектор точки. Без нарушения общности можно считать вектор Ь нормированным. Тогда уравнение (ft, х) = р называется нормальным уравнением гиперплоскости.
