Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
Комплексные собственные значения появляются парами сопряженных с одинаковой кратностью. Выбрав ортонормальный базис из собственных векторов, принадлежащих некоторому собственному значению д. = а + Ы при b ф 0, базис из собственных векторов для собственного значения К = а — Ы можно взять из векторов, сопряженных с векторами базиса собственных значений для І. Такой базис будет ортонормальный. Теперь натянем на каждую пару и + vi и и — vi сопряженных векторов двумерное комплексное подпространство. Все эти подпространства инвариантны, ортогональны друг другу и вещественным собственным
364
ЕВКЛИДОВО И УНИТАРНОЕ ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ. ХШ
векторам, соответствующим вещественным собственным значениям.
Комплексное пространство, натянутое на векторы и + vi и н — vi, очевидно, совпадает с комплексным подпространством, натянутым на Вещественные векторы и и у, и, следовательно, является комплексификацией вещественного подпространства, натянутого на и и V.
Далее, из ортогональности собственных векторов и + vi и и — vi, принадлежащих различным собственным значениям X = = а + Ы и X = а — Ы, следует:
O = (U-I-Ut, u — vi) = {u, u) — (v, v)-\-i((v, н) + (ы, v)) =
= (u, и)— (v, v)-\-2i(u, v),
ибо в евклидовом пространстве S скалярное произведение симметрично.
Из этого равенства следует, что (и, v) = 0, т. е. векторы и и v ортогональны, а также (и, u) = (v, v). Вспомним теперь, что вектор и-т-vi нормированный, т. е., ввиду ортогональности и и v, (и, и)-\-(у, v)=\. Поэтому (и, u) = (v, v)=l/2, так что векторы и и V не нормированны, но становятся нормированными после
умножения на V^-
Итак, для нормального оператора, действующего в евклидовом пространстве S, существует ортонормальный базис, составленный из собственных векторов, принадлежащих вещественным собственным значениям, и умноженных на -\/2 вещественных и мнимых частей Собственных векторов, принадлежащих комплексным собственным значениям. Одномерные подпространства, натянутые на вещественные собственные векторы, и двумерные, натянутые на компоненты комплексных собственных векторов, инвариантны, так что матрица оператора в построенном базисе квазидиагональна и составлена из диагональных блоков первого и второго порядка. Блоки первого порядка —это вещественные собственные значения. Найдем блоки второго порядка. Пусть и-{-vi — собственный вектор, принадлежащий собственному значению а + Ы. Тогда
M (н + vi) = (а + Ы) (и -f- vi),
откуда
Mu = au — bv, Mv = bu-\- av.
Ровно те же соотношения сохранятся после умножения векторов и и о на д/2> Таким образом, блоки второго порядка имеют вид
( а Ь\
ОПЕРАТОРЫ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
365
Заметим еще, что эти блоки появляются из подпространства, натянутого на сопряженные собственные векторы, принадлежащие сопряженным собственным значениям а + Ы, так что наряду с
блоком ( _ j * ) > записанным при помощи собственного значения а + Ы, не нужно включать блок fl), соответствующий
собственному значению а — Ы.
4. Самосопряженные операторы в евклидовом пространстве.
Нормальный оператор в евклидовом пространстве самосопряжен в том и только в том случае, если все его собственные значения вещественны. Действительно, самосопряженный оператор в евклидовом пространстве остается самосопряженным и в комплексифи-кации. Поэтому существует ортонормальный базис в самом евклидовом пространстве, в котором его матрица диагональна. В терминах матриц это значит, что для любой вещественной симметричной матрицы А существует ортогональная матрица С такая, что C-1AC => СТАС диагональна. Это обстоятельство было выяснено еще в гл. V в связи с ортогональным преобразованием квадратичной формы к каноническому виду. Тесная связь между теорией самосопряженных операторов в евклидовом пространстве с теорией квадратичных форм ясно видна из того, что скалярное про::?-ведение (six, х) выражается через координаты вектора х в орто-нормальном базисе в виде квадратичной формы с матрицей, равной матрице оператора st- в том же базисе, и при ортогональном преобразовании координат матрица оператора и матрица квадратичной формы преобразуются одинаково:
Л-> C-1AC = CMC,
ибо для ортогональной матрицы С-1 = Ст.
Для самосопряженных операторов в евклидовом пространстве имеют место те же свойства, которые отмечались для самосопряженных операторов в унитарном пространстве, и их доказательства ничем не отличаются от доказательств в случае унитарного пространства.
Поэтому ограничимся их перечислением.
Самосопряженный оператор положительно определен в том ч только в том случае, когда его собственные значения положительны.
Из самосопряженного положительно определенного оператора можно извлечь положительно определенный квадратный корень.
Любой невырожденный оператор можно представить в виде произведения положительно определенного самосопряженного оператора на ортогональный, как в одном, так? и в другом порядке.
Оператор ортогонального проектирования есть самосопряженный идемпотентный оператор и обратно, самосопряженный идем-потентный оператор есть оператор ортогонального проектирования.
