Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
Будем искать вектор сдвига начала в виде Xo = Xi 4- tb2, при вещественном t. Так как Ь2 принадлежит ядру М, будут иметь место равенства Mx0 + b1 = 0 и (Mx0, Xo) = (Mx1, xi). После такого сдвига начала уравнение примет вид
(My, у)+2(Мхо + Ьи y) + 2(b2, у) + с 4- 2(bu X0) +
4- 2 (b2, Xq) 4- (Мхо, Xo) = 0.
Слагаемое 2(Mx0bu у) в левой части исчезает. Далее, (bly х0) = = (bi, Xi 4- tb2) = (bu Xi),. ибо oi и Ь2 ортогональны; (Ь2,хо) = = (Ь2, xi)-\-t(b2, b2); (Mx0, Xq) = (MXu хх). Таким образом, уравнение принимает вид
(My, y) + 2(b2, y) + 2t(b2, O2) + 2(o2, X1)+ 2(0,, х,) +
+ (Mxi, Xi)+ с = 0.
Если взять
_ (2b2, xi) + 2(bu xt) + (Ахи хх)+ с 2 (&2, Ь2)
то уравнение примет вид
(My, у)+2(Ь2, у) = 0.
Пусть b2 = —pv, где V — нормированный вектор. При этом уравнение примет вид
(My, y)=2p(v, у).
Теперь сделаем поворот осей, приняв за новый базис нормированные собственные векторы Ui.....Uk, принадлежащие ненулевым
собственным значениям Ku ...,Xk оператора М, и нормированные собственные векторы Uk+U ип, принадлежащие нулевому собственному значению, включив в их число вектор v. Пусть
V = Uk+U
Уравнение в новых координатах у\, у'п примет вид
A1«;2+ ... + Xky'k2 = 2py'k+V
Гиперповерхности с такими уравнениями (в (?+1)-мерном пространстве) носят название параболоидов, причем эллиптических, если все Ai, ..., Xk одного знака, и гиперболических, если среди Аь Xk имеются числа противоположных знаков. Гиперболические параболоиды классифицируются по максимальному числу собственных значений Ai, ..., А* одного знака.
s 7] линейные отображения унитарного пространства 371
§ 7. Линейные отображения унитарного пространства в унитарное
1. Сопряженные отображения. Пусть S и T — два унитарных пространства и st— линейное отображение SbT. Сопряженным с st отображением si* называется отображение TbS, обладающее свойством {six, у) = (х, sl*y) при любых x єн S и уєГ. Выберем в пространствах 5In T ортонормальные базисы. Пусть А— матрица оператора si по отношению к этим базисам. Записав скалярные произведения (six, у) через координаты векторов x и у и сделав такие же преобразования, как в аналогичной ситуации для оператора из SbS, легко получим, что поставленному требованию удовлетворяет оператор, матрица которого сопряжена {т. е. транспонирована к комплексно сопряженной) с матрицей А. Единственность сопряженного оператора и, тем самым, независимость от выбора базисов доказывается так же, как для операторов из S в S. Именно, если (six, у) = (х, sl*y) и (six, у) = (х, BSy) при любых xenS, у єн Г, то (х, (si* -^BS) у) = 0 при всех xeS, следовательно, (si* — BS)у = 0 при всех і/єГ, а это и означает, что BS = Si*.
Для операции сопряжения верны свойства:
1. (si*)* = si. 2. (sti + st2)*=st* + stl. 3. (csl)*= csl*. 4. Если si отображает Si в Sj и ^ отображает S2 в S3, то для
MsI, отображающего Si в S3, верно (BSsI)* = sl*BS*.
Доказательства ничем не отличаются от доказательств аналогичных свойств в ситуации операторов из S в S.
Предложение 1. Образ оператора si есть ортогональное дополнение к ядру оператора si*.
Действительно, если у єн ker si*, то при любом X = siz єн slS будет (х, у) = (siz, y) = (z, sl*y) = 0. Обратно, если у ортогонален всем векторам siz из stS, то (siz, y) = (z, sl*y) = 0 при всех zenS, следовательно, sl*y = 0. Предложение доказано.
В силу симметрии si и si* по отношению операции сопряжения, из предложения 1 следует
Предложение 2. Образ оператора si* есть ортогональное дополнение к ядру оператора si.
2. Каноническая форма матрицы линейного отображения унитарного пространства в унитарное. Пусть si — линейное отображение унитарного пространства S в унитарное пространство T и si* — сопряженное отображение. Рассмотрим оператор si*si, отображающий S в S. Он самосопряжен, ибо (st*st)* = sl*sl** = = sl*sl. Далее, ker si*si = ker st. Действительно, если si*six = 0 при xeS, то (st-*six, x) = (six, slx) = 0, откуда stx = 0. Таким образом, ker si*si s ker st. Обратное включение тривиально.
Пусть P '= ker st, S0 = P-L = st*T, T0 = StS и Q = T01 = ker st'. Так как S = S0QP, то T0 = stS = StS0 +stP = StS0- Таким образом, st отображает S0 на все T0. Аналогично, st* отображает
372
ЕВКЛИДОВО И УНИТАРНОЕ ПРОСТРАНСТВА
ІГЛ. ХІІГ
T0 на все So. Очевидно, что ядро si на S0 состоит только из нулевого вектора, и то же имеет место для оператора si* на Го.
Оператор si*si на So не только самосопряжен, но и положительно определен. Действительно, при X є So и хФО имеет место (si* six, x) = (six, s4x)>0, ибо при хфО и МхФО.
Положим dim S = я, dim T = т и dim S0 = dim Го = k. В So-найдем ортонормированный базис щ, ..., uk из собственных векторов оператора si*si. Тогда sPsim = Km, причем Ki > 0. Положим K1 = H2. Векторы s4ui попарно ортогональны. Действительно, (s4u{, s4uf) = (u., si* stu ^) = (11., H2U1) = у2(и., и,) = 0.
Положим V1 = Hj1S^u1. Векторы vi не только ортогональны, но и нормированные ибо(пг, v.) = HY2(siui, s4u.) = nr2(s4*s4u(, U1) = = (ut, ut)= I. Таким образом, векторы vu vh образуют базис Го. Ясно, что s4ui = [liVi.
