Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
Если уравнение гиперповерхности в и-мерном пространстве имеет вид F(xu ¦ ¦ ¦, Xk) = O при k < п, то координаты хк+и ...,Xn остаются произвольными. В этом случае говорят, что гиперповерхность является цилиндрической гиперповерхностью с (п — k)-мерными образующими, построенной на гиперповерхности с тем же уравнением, в А-мерном подпространстве, натянутом на первые k базисных векторов, исходящих из начала координат.
3. Гиперповерхности второго порядка. В векторной форме уравнение гиперповерхности второго порядка можно записать в виде
(Mx, x) + 2(b, х) + с = О,
где M— самосопряженный оператор, b — вектор и с — число. Действительно, в виде (s4-x, х) записывается квадратичная форма, составленная из членов второй степени полинома, 2 (ft, х) является записью суммы членов первой степени, наконец, с — свободный член.
Выясним, как изменяется уравнение при переносе начала координат. Пусть X — координатный вектор при исходном начале координат, у— координатный вектор при новом начале и хо — координатный вектор нового начала относительно исходного. Тогда, подставив X = Xo + у в уравнение поверхности, получим, как легко видеть, преобразованное уравнение в виде
(Му, у)+ 2 (Mx0 + ft, у) + с + 2 (ft, X0) + (Mx0, X0) = 0.
Если уравнение Мхо + b = 0 разрешимо, то за счет переноса начала можно в уравнении уничтожить первые степени координат. Если же уравнение Mx0 + b = 0 не имеет решений, то этого достигнуть нельзя. Таким образом, нужно рассмотреть два случая, в зависимости от разрешимости или неразрешимости уравнения si-xo + b = 0.
4. Первый случай гиперповерхности второго порядка. Пусть уравнение s4-Xo + ft = 0 разрешимо. Тогда, сдвинув начало координат на вектор хо, придем к уравнению
(My, у)+C = 0,
где с' = с + 2 (b, X0) + (^x0, X0).
Теперь сделаем поворот осей, приняв за базис пространства векторов ортонормальный базис из собственных векторов оператора М. Пусть этот базис образован векторами и\, ы*, ы*+ь ...
ип, причем Ui.....Uk принадлежат ненулевым собственным
значениям Лі, ..., Я,*, a Uk+i, ип принадлежат нулевому собственному значению. Обозначив через у[, .... y'k, y'k+], уп координаты вектора у в этом базисе, получим уравнение гиперпо-
ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
369
верхности в виде
hy?+ ••• + VA2 + c' = 0.
Если k <С п, то гиперповерхность будет цилиндрической с (л — k) -мерными образующими, построенной на гиперповерхности с уравнением A1«,2 + • • • + Kky'k2 + с' = О в ^-мерном подпространстве. Если с' = 0, то поверхность коническая, именно, если точка т с координатным вектором у лежит на поверхности, то и прямая, проходящая через начало координат и точку т, т. е. множество точек с координатными векторами ty, —оо«<г<;+оо, целиком лежит на гиперповерхности. Если при этом Ai, ..., А* одного знака, то конус вырождается в одну точку — начало координат. Конусы классифицируются по максимальному числу коэффициентов- одного знака.
Если же с' ф 0, то, разделив обе части уравнения на —с', придем к уравнению
Если все коэффициенты а\, ак отрицательны, то на гиперповерхности нет точек. Если все коэффициенты положительны, то для координат точек на гиперповерхности имеют место неравенства г/'й|<! так что гиперповерхность ограничена. В этом случае
гиперповерхность в ^-мерном пространстве носит название эллипсоида или, в случае а\ = ... = ак, сферы радиуса і/Уаі-
Если же среди коэффициентов ai, ak имеются как положительные, так и отрицательные, то гиперповерхности (в й-мерном пространстве) носят название гиперболоидов. Гиперболоиды классифицируются по числу отрицательных коэффицеинтов аи а*.
Конусы, эллипсоиды, гиперболоиды и построенные на них цилиндрические гиперповерхности носят название центральных, так как начало координат после преобразования к каноническому виду оказывается центром симметрии. Действительно, точки с координатными векторами у и —у одновременно принадлежат или не принадлежат гиперповерхности.
5. Второй случай гиперповерхности второго порядка. Пусть теперь уравнение зФхо + о = 0 не разрешимо.'Это возможно, только если размерность образа оператора s4- меньше п, т. е. оператор имеет нетривиальное ядро и среди его собственных значений имеется число 0.
Напомним, что для самосопряженного оператора образ и ядро ортогонально дополнительны. Образ есть подпространство, натянутое на собственные векторы оператора, принадлежащие ненулевым собственным значениям, а ядро состоит из собственных векторов, принадлежащих собственному значению 0.
Разобьем вектор b на два слагаемых, b = b\ + b2, из которых первое принадлежит образу оператора $Ф, второе — его ортого-
370
ЕВКЛИДОВО И УНИТАРНОЕ ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ. XHT
нальному дополнению, т. е. ядру. В рассматриваемом случае Ь2ф Ф0. Тогда уравнение Ma4-ої = 0 разрешимо, и все его решения получаются из частного решения Xi добавлением произвольного вектора из ядра оператора М. Если X2 = х\ + z при z из ядра, то (Mx2, X2) = (Mxx, Xi-T-Z) = (Mxi, Xi) 4- (Mx1, z) = (Мхи Xi) + 4- (X1, Mz) = (Mxi, Xi). Таким образом, для любого решения X2 уравнения Mx -\- bi = 0 число (Mx2, X2) остается неизменным.
