Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
&-хзФ*зФ@-х = 8.
Но 3&-хзФ* = {зФ$-1)*. Таким образом, оператор зФ&~х и его сопряженный взаимно обратны, т. е. оператор %l = зФЗ&-х унитарный. Следовательно,
зФ =
что и требовалось доказать.
Это разложение носит название полярного разложения оператора.
Существует и другое полярное разложение, в котором положительно определенный множитель находится слева, а унитарный справа. Действительно, применив полярное разложение к сопряженному оператору зФ*, получим
зФ* = <U%,
и переход к сопряженным дает
зФ = = яге-к
Оператор °U-X унитарен вместе с 11.
5. Оператор ортогонального проектирования. Пусть S = P®] Ф Q, где Q = P1. В этом случае проектирование называется ортогональным, и соответствующий оператор называется оператором ортогонального проектирования. Оператор ортогонального проектирования самосопряжен, ибо он имеет вещественную диагональ-
362
ЕВКЛИДОВО И УНИТАРНОЕ ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ. XIIl
ную матрицу в ортонормальном базисе, получающемся посредством объединения ортонормальных базисов PnQ.
Предложение 12. Любой самосопряженный идемпотентный оператор есть оператор ортогонального проектирования.
Действительно, любой идемпотентный оператор М, как мы видели на стр. 331, является оператором проектирования S на P = MS параллельно Q = (Hd—M)S. Нужно доказать только, что PhQ ортогональны. Пусть х = Mu и у = v — Mv є Q. Тогда (х, у) = (Ми, V — Mv). В силу самосопряженности M имеем (Ми, v — Mv) = (u, Mv — M2v) = (u, O)=O, что и требовалось доказать.
6. Унитарные операторы.
Предложение 13. Для того чтобы нормальный оператор был унитарен, необходимо и достаточно, чтобы его собственные значения были равны 1 по модулю.
Действительно, диагональная матрица нормального оператора в ортонормальном базисе из собственных векторов унитарна в том и только в том случае, если все ее диагональные элементы, т. е. собственные значения, равны 1 по модулю.
Предложение о возможности унитарного преобразования подобия матрицы унитарного оператора к диагональной форме мы получили ранее более формальными средствами при помощи теоремы Шура.
§ 5. Операторы в евклидовом пространстве
1. Комплексификация евклидова пространства. Пусть 5 —евклидово пространство и 5 — его комплексификация. Введем скалярное произведение в 5 по формуле:
(x + yi, u-{-vi) = (x, и) +(у, V)+i((y, и) — (х, V)).
Нужно проверить корректность этого определения. Аддитивность по первому аргументу при фиксированном втором очевидна. Для проверки линейности по первому аргументу достаточно убедиться в возможности вынесения комплексного множителя из первого аргумента. Соответствующее вычисление не представляет труда, но довольно громоздко. Именно:
((а 4- bi) (х 4- г//), и 4- vi) = (ах — by 4- (bx 4- ay) і, и 4- vi) = = (ax — by,u) + (bx + ay, v)4- і((bx 4- ay, и) — (ax — by, v)) = = a(x, u) — b (y, u) + b (x, v) +a (y, v) + b (x, u) і 4-
4- a (y, u)i — a (x, v) і 4- b (у, v) і = = (a 4- bi) ((x, u) 4- (y, v) 4- і ((у, и) — (x, »))) =
= (a 4- bi) (x 4- yi, и 4- vi).
Симметрия с инволюцией очевидна — при перестановке местами x + yi и и 4- vi вещественная часть скалярного произведения не меняется, а мнимая меняет знак на обратный.
ОПЕРАТОРЫ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
363
Наконец, (х + у i, X + уi) = (х, х) + {у, у)+і((у,х) — (х, у)) = = {х, х) + (у, у)~>0, если X -т-уіфО. Таким образом, комплексификация S евклидова пространства S становится унитарным пространством.
Заметим еще, что скалярное произведение пары векторов X + yi, и + vi и скалярное произведение пары комплексно сопряженных с ними векторов X — yi, и — vi комплексно сопряженные. Это непосредственно следует из определения скалярного произведения в 5.
2. Операторы в евклидовом пространстве и их продолжение на комплексификацию. В евклидовом пространстве для оператора si определяется сопряженный оператор si* той же формулой (six, у) = (х, si*y) при любых хну, что и в унитарном пространстве. Доказательство существования и единственности сопряженного оператора ничем не отличается от аналогичных доказательств для унитарного пространства. Матрица оператора si* в ортонормальном базисе просто транспонирована с матрицей оператора si. При продолжении взаимно сопряженных операторов si и si* с S на S они останутся сопряженными.
Действительно, (si (х + iy), и + iv) = (six + isiy, и + iv) =
= (six, и) + (siy, v) — (six, v) і + (siy, и) і = = (х, Sf и) + (у, sfv) - (X, Sf v) і + (у, SfM) і =
= ({х + У і), (si*u + si* vi)) = (х + yi, si* (и + vi))'.
3. Нормальные операторы в евклидовом пространстве. Нормальный оператор si в евклидовом пространстве 5 остается нормальным и при его продолжении на комплексификацию 5 пространства S. Поэтому в 5 существует ортонормальный базис из собственных векторов, диагонализующий матрицу оператора А.
Для вещественных собственных значений можно взять вещественные собственные векторы, т. е. лежащие в S. Действительно, координаты собственных векторов относительно базиса 5 определяются из линейных однородных уравнений с вещественными коэффициентами в случае вещественности собственного значения.
