Задачи на разрезание - Екимова М.А.
IS BN 5-94057-051-8
Скачать (прямая ссылка):
8.18. Плоскость разбита прямыми линиями на клетки — равные треугольники с углами 30°, 60°, 90° (рис.59). Две клетки называются соседками, если они имеют общую сторону. Каждую клетку окрашивают одним цветом. При этом у любой клетки все ее соседки должны быть разных цветов. Какое наименьшее число цветов потребуется?
Рис. 59
8.19. Плоскость разбита на равные клетки — правильные шестиугольники. Каждый шестиугольник окрашен одним цветом. Оказалось, что у любой клетки каждая ее соседка покрашена не так, как остальные. Какое наименьшее число цветов отвечает этим условиям?
Урок 8.4
Тема: Задачи с раскраской в условии.
Цель: Формирование представлений о топологических свойствах плоскости. Научиться искать решение на основе логического анализа.
Задачи 8.20-8.25 (решения задач 8.23-8.25 достаточно сложные, поэтому здесь возможна помощь учителя, также можно вынести эти задачи на факультатив или оставить на дом).
8.20. Плоскость разбита прямыми линиями на равные равносторонние треугольники. Каждый треугольник окрашен одним цветом, причем любые два треугольника, соприкасающиеся сторонами или хотя бы вершинами, окрашены по-разному. Какое наименьшее число цветов удовлетворяет условиям задачи?
36
§8. Задачи с раскраской в условии
8.21. Буратино взял квадрат клетчатой бумаги 5 x 5 клеток. Две клетки называются соседними, если у них хотя бы одна общая вершина. Каждую клетку он закрашивает одним цветом. У каждой клетки все ее соседки — разных цветов. Какое наименьшее число цветов потребуется?
8.22. Плоскость разбита прямыми линиями на треугольные клетки (см. рис. 58). Две клетки назовем соседками, если они имеют хотя бы одну общую вершину. Каждая клетка окрашена одним цветом, причем у любой клетки все соседки — разных цветов. Какое наименьшее число цветов потребуется для такой раскраски?
8.23. Плоскость разбита прямыми линиями на клетки — равные равносторонние треугольники. Клетки, имеющие общую сторону или общую вершину, называются соседками. Каждая клетка окрашена одним цветом. Известно, что у каждой клетки все соседки — разных цветов. Какое наименьшее число цветов удовлетворяет условиям задачи?
8.24. Плоскость разбита прямыми линиями на клетки — равные дельтоиды — четырехугольники с углами 120°, 90°, 60°, 90° — (рис. 60). Клетки, имеющие общую сторону или общую вершину, называются соседними. Каждая клетка окрашена одним цветом. Известно, что у каждой клетки все соседки — разных цветов.
а) Достаточно ли для такой раскраски плоскости 10 цветов?
б) Покажите, что для раскраски плоскости достаточно 12 цветов.
Рис. 60
8.25. Плоскость разбита прямыми линиями на клетки — равные треугольники с углами 30°, 60°, 90° (рис. 59). Две клетки называются соседками, если у них есть хотя бы одна общая вершина. Каждую клетку окрашивают одним цветом. При этом у любой клетки все ее соседки должны быть разных цветов.
Урок 8.5
37
а) Докажите, что 18 цветов не хватит для раскраски плоскости в соответствии с этими условиями.
б) Покажите, что 24 цвета достаточно для раскраски плоскости.
Урок 8.5
Тема: Задачи с раскраской в условии.
Цель: Формирование представлений о топологических свойствах плоскости. Знакомство с проведением доказательства от противного.
Задачи 8.26-8.30 решаем на уроке, задачи 8.31, 8.32 — на дом.
8.26. Некоторые шестиугольные клетки на рис. 61 покрасили в черный цвет, а остальные — в красный. Докажите, что найдутся два отрезка одного цвета, расположенные на противоположных сторонах этой фигуры, соединенные дорожкой из шестиугольников того же цвета.
Методические рекомендации. Решение этой задачи рекомендуем рассказать учителю, как иллюстрацию проведения доказательства от противного.
Рис. 61 Рис. 62
8.27. Играют двое, Коля и Саша, делая ходы по очереди. Первым ходит Коля. В свой ход играющий закрашивает своим цветом (Коля красным, а Саша синим) одну клетку игрового поля, изображенного на рис. 62. Выиграет тот, кому удастся проложить дорожку из плиток своего цвета, соединяющую края поля того же цвета (ломаные AC и BD — красные, ABи CD — синие). Кто выиграет при правильной игре?
8.28. Квадрат 8 х 8 клеток разделен на 32 доминошки (прямоугольники из двух клеток). Докажите, что можно покрасить по 8 доминошек белой, черной, красной, и синей красками так, что любые
38
§8. Задачи с раскраской в условии
две доминошки, граничащие по отрезку ненулевой длины, были бы покрашены различно.
8.29. Некоторые клетки прямоугольника 11 х 15 клеток (11 строк и 15 столбцов) белые, а остальные черные. Известно, что в каждой строке прямоугольника белых клеток больше, чем черных. Докажите, что хотя бы в одном столбце белых клеток больше, чем черных.
8.30. Через клетчатый квадрат 1000 х 1000 провели по линиям сетки несколько прямых. Образовавшиеся при этом прямоугольники раскрасили в черный и белый цвета в шахматном порядке. Докажите, что число черных клеток четно.
8.31. Клетки квадрата 100 х 100 покрашены в черный и белый цвет таким образом, что в любом прямоугольнике 1 х 2 хотя бы одна клетка черная, а в любом прямоугольнике 1 х 6 найдутся две черные клетки, расположенные подряд. Какое наименьшее число черных клеток в таком квадрате?
