Задачи на разрезание - Екимова М.А.
IS BN 5-94057-051-8
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 74
11.6. Известно, что для некоторого выпуклого шестиугольника ABiCAiBCi выполнены равенства
AB1 = B1C, CA1 = A1B, BC1 = C1A, IA + IB + IC = / A1 + IB1 + / C1.
Докажите, что площадь треугольника A1 B1 C1 составляет половину площади всего шестиугольника.
Урок 11.2
Тема: Площади фигур.
Цель: Научиться доказывать равенство площадей фигур, используя некоторые стандартные приемы (например, равносоставленность).
Задачи 11.7-11.9 — основные, задачи 11.10, 11.11 — дополнительные.
50
§11. Площади фигур
11.7. Сэр Артур заказал художнику рисунок для своего щита, имеющего форму четверти круга, попросив раскрасить его в три
цвета: желтый — цвет щедрости, крас-
ный — храбрости и синий — мудрости. Когда художник принес раскрашенный щит (рис. 75), то оруженосец заметил, что на рисунке храбрости больше, чем мудрости. Однако художник смог доказать, что это неверно, и что мудрости и храбрости поровну. Как он это сделал?
11.8. На соседних сторонах прямо-Рис. 75 угольника выбрали по точке (A и B) про-
извольно. Точки A и B соединили с вершинами прямоугольника, как указано на рис. 76. Покажите, что сумма площадей трех серых участков равна площади черного участка.
Рис. 76 Рис. 77
11.9. В прямоугольнике произвольным образом взяты точки A и B, они соединены с вершинами прямоугольника, как показано на рис. 77. Докажите, что сумма площадей серых частей равна сумме площадей черных.
11.10. Как в треугольнике ABC провести ломаную BDEFG (рис. 78), чтобы все пять полученных треугольников имели равные площади?
11.11. Внутри большего квадрата расположен меньший, стороны которого параллельны соответствующим сторонам большего. Отрезками соединили вершины квадратов, как показано на рис. 79.
Урок 11.2
51
ОТВЕТЫ И
РЕШЕНИЯ
Раздел 1
§1. Задачи на клетчатой бумаге Урок 1.1
1.1. Ответ. См. рис.80. Задача имеет 6 решений, если не различать лицевую и изнаночную стороны.
FF
Рис. 80
в
Рис. 81
1.2. Ответ. См. рис. 81.
1.3. Ответ. См. рис.82. Дополнительный вопрос: есть ли у этой задачи другие решения?
1111
Рис. 82
1.4. Ответ. См. рис. 83.
54
§1. Задачи на клетчатой бумаге
Рис. 83
—
--- ---
— — —I _ _ _ __
--- --- ---
Рис. 84
1.5. Ответ. Еще 10 решений см. на рис. 84. Урок 1.2
1.6. Решение. Нельзя, так как квадрат состоит из 25 клеток. Его нужно разрезать на две равные части. Поэтому в каждой части должно быть по 12,5 клеток, а значит, линия разреза будет проходить не по сторонам клеток.
1.7. Ответ. Пять способов (рис. 85), причем третий и четвертый способы разрезания различны, но части, на которые разрезается квадрат, одинаковые.
Рис. 85
Ответы и решения
55
1.8. Ответ. См. рис.86.
1.9. Ответ. См. рис.87.
1.10. Решение. Заметим, что данная фигура имеет центр симметрии. После этого замечания фигуру поделить легко. Также нужно учесть, что каждая часть будет содержать по 5 клеток. Ответ. См. на
рис. 88.
Рис. 86 Рис. 87
Рис. 88
1.11. Ответ. Семь способов см. на рис.89.
Рис. 89
Урок 1.3
1.12. Ответ. См. рис. 90 (а, б).
1.13. Ответ. См. рис.91.
56
§1. Задачи на клетчатой бумаге
1.14. Ответ. Как разрезать фигуру, смотрите на рис. 92 (а), а как из полученных частей сложить квадрат — на рис. 92 (б).
1.15. Ответ. См. рис.93.
1.16. Ответ. См. рис.94.
Рис. 93 Рис. 94
Урок 1.4
1.17. Решение. Посмотрим, сколько клеток будет содержать квадрат. 4 • 9 = 36, значит, сторона квадрата — 6 клеток, так как 36 = 6 • 6. Как разрезать прямоугольник — показано на рис. 95 (а). Это способ разрезания называют ступенчатым. Как из полученных частей составить квадрат — показано на рис. 95 (б).
Ответы и решения
57
Рис. 95
1.18. Решение. Нельзя, так как квадрат должен состоять из 4 • 8 = = 32 клеток, а значит, его сторона будет меньше 6 клеток, но больше 5, то есть нецелым числом. Поэтому разрезание по сторонам клеток невозможно.
1.19. Решение. Площадь полученной фигуры 64 кв.ед., так как 10 • 7 = 70 (кв. ед.), 1-6 = 6 (кв. ед.), 70—6 = 64 (кв. ед.). Поэтому квадрат будет со стороной 8 клеток. Как разрезать прямоугольник — показано на рис. 96 (а), а как из этих частей составить квадрат — на рис. 96 (б).
Рис. 96
1.20. Решение. Имеем, 8 • 9 = 72, 72 — 12 = 60. Поэтому исходный прямоугольник с вырезанными фигурами содержит 60 клеток. Так как 6 • 10 = 60, то, по-видимому, искомый прямоугольник составить можно. Как разрезать прямоугольник — показано на рис. 97 (а), а как из этих частей составить новый прямоугольник — на рис. 97 (б).
58
§1. Задачи на клетчатой бумаге
Jl иг
Ид г
Б)
В)
Рис. 97
Рис. 98
Б)
2_
T
3 10
Рис. 99
В)
Ч)
3)
Д) E) Ц) Ъ)
Й)
Рис. 100
Ответы и решения
59
1.21. Ответ. См. рис. 98.
1.22. Ответ. См. рис. 99.
1.23. Ответ. См. рис. 100.
1.24. Ответ. См. рис. 101.
Ak
в)
ч)
Рис. 101
§2. Пентамино Урок 2.1
2.1. Ответ. См. рис. 102.
2.2. Ответ. Двенадцать фигур. См. рис. 103.
