Задачи на разрезание - Екимова М.А.
IS BN 5-94057-051-8
Скачать (прямая ссылка):
4.11. Ответ. Да. Должен получиться квадрат 12 х 12. По его периметру уложится 12 квадратов 3 х 3. Останется квадрат 6 х 6, по его периметру уложим 8 квадратов 2 х 2, и останется квадрат 2 х 2 — как раз 4 квадрата 1 х 1 .
9999915
Ответы и решения
69
4.12. Ответ. Да. Вначале составим прямоугольники 2 х 3, 2 х 4, затем полоску 2 х 7, а потом полоску 2 х 14 (см. рис. 139). Семь таких фрагментов дают квадрат 14 х 14.
Рис. 138
Урок 4.3
4.13. Ответ: 12. Понятно, что больше 12 таких полосок выкроить нельзя, а как выкроить 12 — видно из рис. 140.
......... I I I I I I
...... .....................
Рис. 140 Рис. 141
70
§5. Танграм
Рис. 142
4.14. Ответ. См. рис. 141.
4.15. Решение. Нет, так как число 23 нельзя представить в виде суммы пятерок и семерок.
4.16. Ответ. См. рис. 142. В случае (а) в квадрате умещается 24 целых фигуры, в случае (б) — 22, в случае (в) — 16, в случае (г) — 16. Пока способов разрезания, при которых получается больше целых фигурок, не найдено.
§5. Танграм Урок 5.1
5.2. Ответ. См. рис. 143.
Ответы и решения
71
Б) В) Ч) 3)
Рис. 143
5.4. Ответ. См. рис. 144.
Рис. 144
5.5. Ответ. Из шести частей нельзя, а из двух, трёх, пяти и семи можно (рис. 145).
Рис. 145
5.6. Ответ. Можно. См. рис. 146.
72
§5. Танграм
Рис. 146
5.7. Решение. Прямоугольник можно составить, например, из двух маленьких треугольников и параллелограмма (см. рис. 147 (а)), или из двух маленьких треугольников и квадрата (см. рис. 147 (б)). Также можно составить прямоугольник из пяти частей танграма (см. рис. 147 (в)) и из всех семи частей. Также из частей танграма можно составить, например, пятиугольник (см. рис. 147 (г)).
Рис. 147
Ответы и решения
73
§6. Задачи на разрезание в пространстве Урок 6.1
6.1. Ответ. Подойдет, например, заготовка, изображенная на рис. 148.
Рис. 148
6.2. Ответ. Не годятся заготовки, показанные на рис. 149 (б, ж).
Б) В) Ч) 3) Д) E) Ц)
Рис. 149
6.3. Решение. Лиса права. Если боковую поверхность пирамиды разрезать по боковым ребрам и развернуть ее на плоскости, то получится фигура, изображенная на рис. 150 (общая вершина треугольников — это вершина пирамиды, сами треугольники — боковые грани пирамиды). На этом рисунке видно, что сумма углов при вершине пирамиды меньше 360°. А если все углы Рис 150 при вершине пирамиды были бы по 100°, то их
сумма была бы 400°, что невозможно.
6.4. Решение. За 6 разрезов. После каждого разреза число частей может возрасти не больше, чем в два раза. После первого разреза куб
74
§6. Задачи на разрезание в пространстве
распался на 2 части, после второго — на 4, затем эти 4 части складываем в столбик и разрезаем их плоским разрезом, получается 8 частей, затем 16, затем 32 и, наконец, 64.
6.5. Решение. Маленьких кубиков получилось 5 • 5 • 5 = 125 штук. По три грани окрашено у кубиков, которые расположены в вершинах куба. Вершин 8, следовательно, таких кубиков 8. У кубиков, расположенных вдоль ребер (исключая кубики, лежащие в вершинах), окрашено по две грани. Таких кубиков по три вдоль каждого ребра, значит всего таких кубиков 12 • 3 = 36, так как у куба 12 ребер. По одной грани окрашено у тех кубиков, которые лежат «на поверхности», исключая кубики, прилежащие к ребрам, то есть по 9 штук на каждой грани. Граней у куба 6, следовательно, таких кубиков 9 • 6 = 54. Неокрашенных осталось 3 • 3 • 3 = 125 — 8 — 36 — 54 = 27 кубиков.
6.6. Решение. Да, если одна часть вырезана в виде «столбика», идущего через весь арбуз. У этого куска две корки, соединенные мякотью. Остальной арбуз можно разрезать на «нормальные» куски.
6.7. Решение. Блин можно разрезать на 7 частей (смотрите рис. 151 (а)), а каравай хлеба на 8 (см. рис. 151 (б)).
Рис. 151
Ответы и решения
75
§7. Задачи на раскраску Урок 7.1
7.1. Решение. Нельзя. Рассмотрим шахматную доску 8 X 8, уберем две черные клетки (левую нижнюю и правую верхнюю (рис. 152)). Каждая доминошка покрывает одну белую и одну черную клетку. Фигура, которую можно покрыть доминошками, должна содержать белых и черных клеток поровну. В нашей же фигуре белых клеток больше, чем черных.
Рис. 152
7.2. Решение. Если «верблюд» стоял на белой клетке шахматной доски, то после очередного хода он вновь окажется на белом поле. И сколько бы раз и в каком бы направлении он не ходил, на соседнем по стороне, то есть на черном поле, он оказаться не может. Аналогичные рассуждение проводим, когда «верблюд» стоит на черном поле.
7.3. Решение. Раскрасим клетки квадрата в шахматном порядке. Черных клеток получилось 13, а белых — 12. Каждый жук, сидящий на белой клетке, переползает на черную клетку, а каждый жук, сидящий на черной клетке, переползает на белую клетку (по условию задачи). Предположим, что 12 жуков, сидящих на черных клетках, переползают каждый на свою белую клетку. Но 13-му жуку, сидящему на черной клетке, белой клетки не досталось (так как их всего 12), поэтому в какой-то белой клетке будут сидеть два жука. А одна черная клетка обязательно останется свободной, так как даже если предположить, что 12 жуков, сидящих на белых клетках, переползут каждый на свою черную клетку, то они займут 12 клеток, а 13-я черная клетка останется свободной. Если бы исходный квадрат имел размеры 6 X 6, то могло получиться так, что в каждой клетке будет снова сидеть ровно один жук (например, если жуки, сидящие в столбцах с нечетными номерами, переползут на соседнюю справа клетку, а жуки, сидящие в столбцах с четными номерами, переползут на соседнюю слева клетку, то жуки разбиваются на пары и каждая пара меняется местами).
