Задачи на разрезание - Екимова М.А.
IS BN 5-94057-051-8
Скачать (прямая ссылка):
76
§7. Задачи на раскраску
Б) В)
Рис. 153
7.4. Решение. На такие фигурки разрезать квадрат нельзя. Для доказательства раскрасим клетки квадрата в два цвета (черный и белый) в шахматном порядке. Черных и белых клеток получилось поровну, по 8 штук. Как ни укладывай квадратик, столбик и зигзаг, в них будет по две белые и две черные клетки. А пьедестал будет содержать 3 черные и 1 белую клетку или 3 белые и 1 черную клетки (рис. 153). Итак, чтобы разрезать квадрат на такие фигурки, нам нужно 9 черных клеток и 7 белых (или 7 черных и 9 белых), но у нас черных и белых клеток поровну, значит, такое разрезание невозможно.
7.5. Решение. Клетки квадрата раскрасим в два цвета (черный и белый) в шахматном порядке. Если этот квадрат можно разрезать на такие фигуры, то таких фигур 25, причем каждая содержит либо 3 белых и 1 черную клетки (такие фигурки изображены на рис. 153 (а), пусть их m штук), либо 3 черных и 1 белую клетки (такие фигурки изображены на рис. 153 (б), пусть их n штук). Тогда 3m + n = 50 (число белых клеток), 3n + m = 50 (число черных клеток), отсюда m = n, поэтому 25 = m + n = 2n. Но этого не может быть, так как число 25 нечетно.
Б) В)
Рис. 154
Урок 7.2
7.6. Решение. Клетки квадрата раскрасим в два цвета (черный и белый) столбиками через один. Если этот квадрат можно разрезать на такие фигуры, то таких фигур 25. Причем каждая содержит либо 3 белых и 1 черную клетки (такие фигурки изображены на рис. 154 (а), пусть таких фигур m штук), либо 3 черных и 1 белую клетки (фигурки, изображенные на рисунке 151 (б), пусть таких фигурок n штук). Тогда 3m + n = 50 (число белых клеток), 3n + m = 50 (число черных клеток), отсюда m = n, поэтому 25 = m + n = 2n. Но этого не может быть, так как число 25 нечетно.
7.7. Ответ. а) Да — см. рис. 155 (а); б) да — см. рис. 155 (б); в) нет. Решение (в). Раскрасим клетки квадрата в три цвета, как показано на рис. 155 (в). Пластинка 1 х 3 закрывает по одной клетке каждого
Ответы и решения
77
цвета. Если бы покрытие было возможно, то на рисунке была бы 21 черная клетка, 21 серая и 21 белая. Но черных клеток 22. Следовательно, покрытие невозможно.
Б)
?
—
? —
—
_ _
В) Рис. 155
Рис. 156
7.8. Решение. Для доказательства раскрасим квадрат 8x8 в четыре цвета, как на рис. 156. Как ни укладывай полоску 1 x 4, она занимает по одной клетке каждого цвета. А плитка 2 x 2 непременно закрывает две клетки одного и того же цвета и один цвет «пропускает» (то есть клетки этого цвета в ней вообще нет). Поэтому в покрытии квадрата 8 x 8 плитками и полосками замена одной плитки на полоску (или наоборот, полоски на плитку) невозможна.
7.9. Ответ. Не удастся. Решение. Для доказательства разобьем дно коробки на 36 клеток, но красить будем не цветами, а числами, точнее остатками от деления целых чисел на 3 (0, 1, 2) (рис. 157). Как ни укладывай полоску, сумма чисел в ней кратна 3. Сумма всех чисел в квадрате тоже кратна 3. Если бы 11 полосок и одну букву «Г» можно было бы уложить в коробку, то числа внутри «Г» в сумме давали бы число, кратное 3. Но букву «Г» так уложить нельзя.
7.10. Решение. Раскрасим некоторые клетки, как показано на рис. 158. Любой прямоугольник, состоящий из трех клеток, содержит
0 1 2 0 1 2
0 1 2 0 1 2
0 1 2 0 1 2
0 1 2 0 1 2
0 1 2 0 1 2
0 1 2 0 1 2
Рис. 157
78
§7. Задачи на раскраску
Урок 7.3
7.11. Ответ. На 11. Решение. Раскрасим клетки прямоугольника в черный и белый цвет в шахматном порядке. Разность числа черных и числа белых клеток в нем не более 1. Значит, и в фигуре, составленной из к таких прямоугольников, эта разность не более к. У нашей фигуры разность равна 11, то есть число прямоугольников не менее 11. Сделать 11 можно: разрезать фигуру по всем вертикалям (см. рис. 159).
7.12. Решение. Раскрасим фигуру так, как изображено на рис. 160. Если разрезание возможно, то в куске будет два треугольника — черный и белый (всего их 46), то есть черных и белых треугольников должно быть поровну. Но на рисунке черных треугольников 21, а белых — 25, следовательно, требуе-
Рис. 160 мое разрезание невозможно.
7.13. Решение. Раскрасим треугольники, из которых состоит фигура, в два цвета: черный и белый (как показано на рис. 161 (а). Из «черного» зала (треугольника черного цвета) можно попасть только в «белый» зал (треугольник белого цвета). А из «белого» зала можно попасть только в «черный» зал. «Черных» залов на рисунке 21, а «белых» — 28. Поэтому, чтобы обойти наибольшее количество залов, путнику нужно начинать обход с «белого» зала, затем
Ответы и решения
79
идти в «черный», затем опять в «белый» и т. д., пока он не зайдет в последний 21 «черный» зал, из него он может пройти в «белый» зал (он 22 по счету), а уже 22 «черного» зала нет. Поэтому наибольшее количество залов, которое удастся обойти путнику — 43. Причем останутся 6 «белых» залов, в которые он не зашел. Один из вариантов обхода залов изображен на рис. 161 (б).
Рис. 162
7.14. Ответ. Нет. Решение. Раскрасим клетки доски в 4 цвета, как на рис. 162. Каждая плитка займет по одной клетке каждого цвета. Если замощение возможно, то клеток каждого цвета должно быть поровну. Но черных клеток 26, а не 25 (а белых клеток — 24). Поэтому замощение невозможно.
