Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Екимова М.А. -> "Задачи на разрезание" -> 5

Задачи на разрезание - Екимова М.А.

Екимова М.А., Кукин Г.П. Задачи на разрезание — М.: МЦНМО, 2002. — 120 c.
IS BN 5-94057-051-8
Скачать (прямая ссылка): zadachi2002.pdf
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 < 5 > 6 7 8 9 10 11 .. 25 >> Следующая

Цель: Попрактиковаться в решении более сложных задач на разрезание.
Задачи 3.6-3.11 решаем на уроке, задача 3.12 — на дом.
3.6. Разрежьте фигуру (рис. 31) двумя прямолинейными разрезами на такие части, из которых можно сложить квадрат.
3.7. Разрежьте изображенную на рис. 32 фигуру на четыре равные части, из которых можно было бы сложить квадрат.
3.8. Разрежьте букву Е, изображенную на рис. 33, на пять частей и сложите из них квадрат. Части переворачивать обратной стороной не
20
§4. Разбиение плоскости
разрешается. Нельзя ли обойтись четырьмя частями, если разрешить переворачивать части обратной стороной?
3.9. Крест, составленный из пяти квадратов, гтттттттт требуется разрезать на такие части, из которых --------- можно было бы составить один равновеликий кре- ZZZ
сту (то есть равный по площади) квадрат. ---_
3.10. Даны две шахматные доски: обыкновен- ------
ная, в 64 клетки, и другая — в 36 клеток. Требуется ___I I
каждую из них разрезать на две части так, чтобы ZZZ
из всех полученных четырех частей составить но- --- III
вую шахматную доску 10 x 10 клеток. ---------
3.11. У краснодеревщика имеется кусок шахматной доски 7 x 7 клеток из драгоценного красно- Рис. 33 го дерева. Он хочет, не теряя материала и проводя
разрезы только по краям клеток, распилить доску на 6 частей так, чтобы из них сделать три новых квадрата, все разных размеров. Как это сделать?
3.12. Можно ли решить задачу 3.11, если количество частей должно равняться 5, а общая длина разрезов — 17?
§4. Разбиение плоскости Урок 4.1
Тема: Сплошные разбиения прямоугольников.
Цель: Научиться строить сплошные разбиения прямоугольников плитками прямоугольной формы. Ответить на вопрос, при каких условиях прямоугольник допускает такое разбиение плоскости.
Задачи 4.1-4.5 (а) решаем на уроке. Задачи 4.5 (б), 4.6, 4.7 можно оставить на дом.
Пусть у нас имеется неограниченный запас прямоугольных плиток размером 2 x 1, и мы хотим выложить ими пол прямоугольной формы, причем никакие две плитки не должны перекрываться.
4.1. Выложите плитками 2 x 1 пол в комнате размером 5 x 6.
Ясно, что если пол в прямоугольной комнате p x q выложен плитками 2 x 1, то p • q четно (так как площадь делится на 2). И обратно: если p • q четно, то пол можно выложить плитками 2 x 1.
Урок 4.2
21
Действительно, в этом случае одно из чисел p или q должно быть четно. Если, например, p = 2r, то пол можно выложить так, как показано на рис. 34. Но в таких паркетах есть линии разрыва, которые пересекают всю «комнату» от стены до стены, но не пересекают плитки. А на практике используются паркеты без таких линий — сплошные паркеты.
р = 2г
Рис. 34
4.2. Выложите плитками 2 x 1 сплошной паркет комнаты 5 x 6.
4.3. Попытайтесь найти сплошное разбиение на плитки 2 x 1
а) прямоугольника 4 x 6; б) квадрата 6 x 6.
4.4. Выложите плитками 2 x 1 сплошной паркет а) комнаты 5 x 8;
б) комнаты 6 x 8.
Естественно возникает вопрос, при каких p и q прямоугольник p x q допускает сплошное разбиение на плитки 2 x 1?
Мы уже знаем необходимые условия: 1) p • q делится на 2, 2) (p,q) = (6, 6) и (p,q) = (4, 6).
Также можно проверить еще одно условие: 3) p ^ 5, q ^ 5.
Оказывается, эти три условия оказываются и достаточными.
Плитки других размеров.
4.5. Плитками 3 x 2 выложите без разрывов а) прямоугольник 11 x 18; б) прямоугольник 14 x 15.
4.6. Выложите без разрывов, если это возможно, квадрат 12 x 12 плитками 3 x 2.
4.7. Можно ли, взяв квадрат клетчатой бумаги размерами 5 x 5 клеток, вырезать из него 1 клетку так, чтобы оставшуюся часть можно было разрезать на пластинки 1 x 3 клетки?
Урок 4.2
Тема: Паркетажи.
22
§4. Разбиение плоскости
Цель: Научиться покрывать плоскость различными фигурами (причем паркетажи могут быть с линиями разрыва или сплошными), или доказывать, что это невозможно.
Задачи 4.8-4.12.
Один из наиболее важных вопросов теории разбиения плоскости: «Какой формы должна быть плитка, чтобы ее копиями можно было покрыть плоскость без пробелов и двойных покрытий?» На ум сразу же приходит довольно много очевидных форм.
Можно доказать, что существуют только три правильных многоугольника, которыми можно покрыть плоскость. Это равносторонний треугольник, квадрат и шестиугольник (см. рис.35).
Существует бесконечное множество неправильных многоугольников, которыми можно покрыть плоскость.
Б) В) Ч)
Рис. 35
4.8. Разделите произвольный тупоугольный треугольник на четыре равных и подобных ему треугольника.
В задаче 4.8 мы разбили треугольник на четыре равных и подобных ему треугольника. Каждый из четырех получившихся треугольников можно в свою очередь разбить на четыре равных и подобных ему треугольника и т. д. Если двигаться в обратном направлении, то есть складывать четыре равных тупоугольных треугольника так, чтобы получился один подобный им треугольник, но в четыре раза большей площади, и т. д., то такими треугольниками можно замостить плоскость.
Плоскость можно покрыть и другими фигурами, например, трапециями, параллелограммами.
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 < 5 > 6 7 8 9 10 11 .. 25 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed