Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.
Скачать (прямая ссылка):
331
(6.5)
= (1/^,...,1/^). Переписывая матрицы (6.2) из вихревой алгебры в этом новом базисе, мы видим, что они приобретают вид
/ 0\
A„-i : О
\о ... о о/
где An-1 — косоэрмитова матрица размером (п — 1) х (п — 1). В этом базисе изоморфизм вихревой алгебры с и(п — 1) становится явным. Недостаток такого базиса в том, что его нельзя сделать симметричным относительно всех вихрей.
Обобщим эти рассуждения на случай произвольных интенсивностей.
Переход к новому базису в С™ задаст сопряжение матриц в алгебре (6.2) вида А = С А'С-1, где С — матрица перехода. (В нашем случае ее можно считать вещественной и ортогональной С-1 = СТ). При такой замене коммутатор вихревой алгебры преобразуется к следующему виду:
AT-1B - BT-1A = CAfC-1T-1CB1C-1 - CB1C-1T-1CA1C-1 = = С[А',В']г'С-\
где
Г' = C-1T-1C =
/
\Ът.
Ti *
\
7га-1,
7п—1,п 7п,п /
Здесь — симметричная (п — 1) х (п — 1)-матрица, соответ-
ствующая ограничению формы Г-1 на гиперплоскость Vi. Это следует из соотношения С-1 = Ct .
Учитывая, что последние строка и столбец матриц А и В обращаются в нуль, находим, что вихревой коммутатор преобразуется к виду
[^n-D-Sn-Jr^1-Отметим теперь, что матрица положительно определена и вещественна, следовательно, из нее можно извлечь корень (Г^^)1^. Тогда замена
= К-іГ%<-іК-іГ1/з 332
Глава Ji
приводит коммутатор х к стандартному. При этом мат-
рицы остаются косоэрмитовыми. Это рассуждение также показывает, что рассматриваемый нами вихревой пучок является подпучком стандартного пучка на пространстве косоэрмитовых матриц. ¦
Главный вывод, вытекающий из этой конструкции следующий — свойства вихревой алгебры Ли, отвечающей параметрам Гі,... , Г„ полностью определяются свойствами билинейной формы которая является ограничением формы Г-1, на подпространство Vi = {zi + • • • + Zn = 0} (попросту сигнатурой этого ограничения).
Найдем условия, при которых алгебра Lr компактна, то есть изоморфной алгебре Ли u(N — 1). Необходимым и достаточным условием является знакоопределенность формы T^1. В этом случае имеются следующие возможности (мы предполагаем, что интенсивности конечны и отличны от нуля).
1) Форма Г-1 знакоопределенна, то есть все Г,; одновременно либо положительны, либо отрицательны.
2) Форма Г-1 имеет сигнатуру (п — 1,1) (то есть все Tj положительны кроме одного). Действительно, для положительной определенности ограничения на Vi требуется, чтобы на одномерном ортогональном, относительно Г, дополнении к Vi форма Г-1 была отрицательно определена. Это условие легко найти, если заметить, что ортогональным дополнением к Vi в смысле формы (6.4) является одномерное подпространство, натянутое на вектор ?;г = (Гі,.... Гп). Оно имеет вид
К,г>г)г-і = <
3) Аналогично, для случая сигнатуры (1, п — 1).
Окончательно получаем следующее
Предложение 4. Вихревая алгебра Ли Lr является компактной в следующих и только в следующих случаях:
1) Все интенсивности имеют одинаковый знак.
п
2) Все интенсивности кролів одной положительны, и Г, < 0. Ij 6. Классификация и алгебраическая интерпретация 333
п
3) Все интенсивности кроме одной отрицательны, и ^ Tj > 0.
;=і
Замечание 1. Это утверждение совпадает с тем, что уже было доказано в случае трех вихрей (§3 гл. 4).
Аналогично определим условия, когда вихревая алгебра не будет «полупростой». Это случается тогда и только тогда, когда форма вырождена па Vi. Из линейной алгебры следует, что это условие эквивалентно тому, что ортогональное дополнение к Vi лежит в Vi- Последнее в свою очередь означает, что г>г Є Vl, то есть
Гі + ... + Г„ = 0.
Отметим еще одно обстоятельство. Подпространство AcL, натянутое на векторы Aimn, является подалгеброй для любой алгебры из пучка. Условие ее компактности точно такие же, что и условия компактности для всей Lp: форма TJj l должна быть положительно определенной. Поэтому вихревая алгебра Lr компактна тогда и только тогда, когда компактна подалгебра Д.
2. Редукция по симметриям и сингулярные орбиты. Для объяснения происхождения лиевых пучков, связанных с вихревой алгеброй, и описания (сингулярных) симплектических листов, соответствующих действительным движениям, рассмотрим переход к относительным переменным с точки зрения редукции по симметриям (§ 8 гл. 1).
Функция Гамильтона (1.2) и уравнения движения (1.1) вихрей инвариантны относительно действия группы Е(2), которое можно представить в виде
g: z -»• e^z + ozo, ff Є ?7(2), (6.6)
где Zo = (1, ... , 1), a = ах + іау. Параметры (р, ах, ау определяют трансляцию и поворот, соответствующие элементу g Є Е(2).
Действие (6.6) непуассоново [2]. Действительно, интегралы движения (1.4), соответствующие трансляциям — Р, Q и вращению — I, образуют пуассонову структуру, которая отличается от скобки Ли— Пуассона алгебры е(2) на постоянную величину — коцикл. Легко видеть, что этот коцикл является неустранимым [2] и стандартная редукция по моменту [286] невозможна. Для проведения редукции в алгебраической форме (§ 8 гл. 1) воспользуемся отображением момента несколько иначе. 334 Глава Ji
