Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.
Скачать (прямая ссылка):
Явная форма для дифференциала гамильтониана следующая:
то есть dH(L) — это линейная комбинация матриц Мц. Поэтому выражение для матрицы А имеет вид
/у rirJ 3 Г2Гх
A = dH(L) =
г,г2
Г|Г„
л
|z2 — Z| I2 IZ2-Z
і
\ _ Äó
ÄÄ_! |z„-z„_i I2
|zi-z„|:
Г2Г» Iz2-Zn I2
. |Z2-Z,|2/
Если все интенсивности совпадают между собой и равны единице, то матрица А упрощается:
/V1—
A = г
Izi-Z2I2 1 V^ 1
Iz2-Zil2 <у Iz2-Zj I2
Zl -Z„|2
1
Z2 -Zn Iа
V 1
Л
-Zil2
В случае, когда интенсивности различны требуется дополнительная процедура, приводящая коммутатор к стандартному виду.
6. Стационарные конфигурации. В терминах L — А-пары стационарные конфигурации описывается естественным образом. Условие стационарности эквивалентно коммутируемости матриц L и А: [L, А] = 0. В нашем случае это означает, что
iAzzT=izzTA = -iz(Az)T. Ij 6. Классификация и алгебраическая интерпретация
343
Обозначая h = Az, имеем bzT = —zbT. Можно показать, что это возможно лишь при условии Ь = i\z, А Є К. В свою очередь это эквивалентно тому, что z является собственным вектором матрицы А (с чисто мнимым собственным значением).
В результате получаем довольно естественный набор соотношений:
^ Z1-.
Zi-Zjl2 1
I «2-Z1 I2
Zi-Z2I
V_
t—1 Zo-Zi I
\
V-N
|z„-z„_i I2
|2l-Z„|2 1
|Z2-Z„|2
SlZ2-1Z,2 /
который переписывается в более простой форме:
JZ^ = Tjxek = I,...
Z>1
W
П.
(*А
Z>1
W
(6.21)
Уравнения (6.21) могут быть получены и непосредственно из уравнений (1.6) и условия, что каждая точка вращается вокруг начала координат с одинаковой скоростью А.
Стационарные конфигурации изучались в нескольких работах (см. [185, 216, 117]). По-видимому, новые результаты могут быть получены с использованием следующих соображений:
1. Стационарные конфигурации могут быть интерпретированы как собственные векторы матрицы А,
2. Стационарные конфигурации могут быть интерпретированы как особые точки гамильтониана па орбите (т. с. па СPn^1). В качестве гамильтониана можно взять функцию H= П 1? — Zj\2¦ Это
kjtj
положительная функция, которая обращается в нуль на подмногообразии «коллапса».
С помощью этих соображений, а также исследованием условия коммутации [L, А] = 0, интересно было бы дать теоретическое объяснение конфигураций из «Лос-Аламосского» каталога, для которых устойчивые состояния вращения реализуются на нескольких концентрических окружностях («атомных оболочках» по Кельвину) (см. рис. 70, где для системы 11 вихрей указаны две возможности 11 = 2 + 9, или 344
Глава Ji
а) о Ъ) ©
0 OO
о
O0 0
ее 0
О OO
.....©....... ........&......................¦&.........¦©¦¦
о
о
о
Рис. 70
11 = 3 + 8) [183]. Эти конфигурации обладают, как правило, некоторым типом симметрии (вращательной, или имеют плоскость симметрии). Совсем недавно в короткой заметке в «Nature» [191] были указаны несимметрические стационарные конфигурации для системы вихрей равной интенсивности.
Теоретически наиболее простой является задача о количестве ко-линеарных конфигураций в зависимости от соотношений интенсивностей. В небесной механике (при положительных массах mj) ответ дается теоремой Мультона, согласно которой всякой перестановке масс таї, .... тп (ш, > 0) соответствует единственная (вращающаяся) коллинеарная конфигурация (доказательство этой теоремы имеется в [149]). Для системы трех вихрей количество коллинеарных конфигураций зависит от типа алгебры, определяемой скобками Пуассона (§3,4). По-видимому, такая связь имеется и в общем случае (для системы п вихрей).
§ 7. Родственные задачи динамики вихрей
В этом параграфе мы вкратце остановимся на некоторых задачах вихревой динамики, анализ которых также может быть проведен с помощью изложенного выше формализма. Рассмотрим вначале задачу о движении вихрей Кирхгофа, уравнения движения которых в абсолютных координатах уже не имеют канонической формы и представляют собой гамильтонову систему с нелинейными скобками Пуассона.
1. Движение вихрей Кирхгофа. Момсптпая модель второго порядка [289] является следующим по сложности приближением к описанию гидродинамической завихренности, по сравнению с моделью точечных вихрей, и часто используется в задачах адвекции [106]. В рамках этой модели рассматриваются вихревые пятна с заданной всличи- jj 7. Родственные задачи динамики вихрей
345
ной завихренности, движущиеся в двумерной идеальной несжимаемой безграничной среде. Такие вихревые пятна могут быть описаны эллиптическими вихрями Кирхгофа [110], для которых во время движения сохраняется эллиптическая форма и площадь, а завихренность распределена равномерно (отношение полуосей эллипса А при этом может эволюционировать). В безграничной среде и в отсутствие внешних потоков единственный вихрь Кирхгофа вращается вокруг оси, проходящей через его центр завихренности, с постоянной угловой скоростью. При этом его форма не меняется и вихрь движется как твердое тело [110].
