Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.
Скачать (прямая ссылка):
Глава Ji
о движении трех вихрей в общем случае уже не является интегрируемой (Н.Н.Симаков [147]).
Используя указанные переменные, можно также рассмотреть задачу о движении точечных вихрей вне круговой области. Особенно интересна задача о движении вихрей при наличии постоянного сноса. Эта задача рассматривалась еще в прошлом веке Фепплем в связи с обтеканием цилиндра (при малых числах Рейнольдса Re = 13 Ч- 41) [147].
4. Движение вихрей на цилиндре. Аналогично движению вихрей на поверхности сферы можно расмотреть задачу о вихревом движении на цилиндре. Эта задача кажется несколько искусственной, однако легко видеть, что она эквивалентна задаче о движении вихрей па плоскости с периодическими граничными условиями. В такой постановке она изучалась еще Т.Карманом [256], который теоретически пытался объяснить возникновение и устойчивость вихревой дорожки (точнее, двух дорожек), возникающей за цилиндром, обтекаемым постоянным потоком жидкости (при числах Рейнольдса Re = 105 + 140). Карман исследовал задачу об устойчивости в линейной постановке, более строгий анализ приведен в известном учебнике [107].
Этот анализ, тем не менее, не смог вполне прояснить причину возникновения устойчивых вихревых образований за цилиндром. С современным состоянием этих вопросов и соответствующей литературой можно познакомиться в [279].
Уравнения движения вихрей на цилиндре в комплексной форме имеют вид
| = "*»))> (7.16)
ш
где Zk = Xk + iyki L = 2irR расстояние между вихрем в дорожке, R — радиус цилиндра.
Гамильтонова система (7.16) является интегрируемой для случая
двух вихрей. Задача о движении трех вихрей при произвольных ин-
тенсивностях, видимо, не интегрируема. Однако при дополнительном з
условии Tj = 0 существует необходимый дополнительный интеграл.
»=i
Анализ движений, которые оказались довольно сложным, и наиболее типичные траектории в этом случае приведены в работе [190]. Возможность применения алгоритмов данной главы к этой задаче пока не изучена. Глава 5
Многочастичные системы
§ 1. Обобщенные цепочки Тоды и уравнения
Эйлера—Пуанкаре на разрешимых алгебрах Ли
1. Цепочка Тоды, как гамильтонова система на разрешимой алгебре Ли. Задача о движении п частиц на прямой с экспоненциальным взаимодействием была рассмотрена в 1967 г. в работе Тоды (см. [151]), который обнаружил, что в такой цепочке могут распространяться незатухающие нелинейные волны. В 1974 г. в работе Хенона [249] для цепочки Тоды, состоящей из п частиц, были найдены п функционально независимых интегралов движения, инволютив-пость которых была доказана Флашкой [237] и Мапаковым [114]. Если в системе п частиц с экспоненциальным взаимодействием первая частица взаимодействует с последней, то возникающая цепочка называется замкнутой (периодической). Она также является интегрируемой, однако се динамика существенно отличается от непериодического случая.
О.И.Богоявленским в работе [199] были введены обобщенные цепочки Тоды. Гамильтониан обобщенной цепочки Тоды в канонических переменных (р, q) Є K2n имеет вид:
1 N
H=-(v,v) + Y,gie2(ai'4), (1-І)
j=i
где OLi Є К"', а скобкой (•, •) обозначено обычное скалярное произведение в евклидовом пространстве Mn. Набор векторов Qi,... ,Qjv называется спектром гамильтониана (1.1).
Пусть среди векторов Qj имеется т п линейно независимых Q1,... ,Ctm, их линейную оболочку обозначим через М™ С К™. Потенциальная энергия системы (1.1) зависит лишь от координат в гиперплоскости К™, поэтому ортогональная составляющая импульса р является интегралом движения. Выполняя редукцию по этим интег- 362 Глава Ji
ралам (см. §8 гл. 1), приходим к приведенной системе, описывающей движение в плоскости M^
N
Н* = \{ Р*,Р*)+$>е2<°"ч), (1.2)
i=l
где р* — проекция импульса на К™.
Выберем дуальный к Qi,... ,Qra базис ?j,... ,?m: (cn.?j) = Sij и определим новые избыточные переменные
ак = exp(afc,q), bj = (?j7 р*) = (?j7 р),
к = 1,... ,N, j' = l,... , т.
Скобка Пуассона этих переменных линейная
{a*, bj} = CLkSkj к ^ ш, j = 1, ... , т, {ak,bj} = Akjak m<k^N, j = 1, ...,та,
здесь Akj координаты векторов ак, к > т в базисе Qi,... ,Qr
(1.3)
(1.4)
OLk = 1^iAkjOLj к = та + 1,...,п. (1.5)
j=i
Переменные «i,...,«m, &1,... , bm образуют подалгебру д(2тп) изоморфную прямой сумме двумерных разрешимых алгебр Ли. Гамильтониан в новых переменных (с точностью до добавления функций Казимира) принимает вид:
т. N
H = Ciibibj + (1.6)
і,J = I к — 1
где Су = (Qj,Qj) — матрица скалярных произведений. Соотношения (1.5) порождают функции Казимира:
т
Fk = «й П <> jAi'J' * = m + 1,... , iV. (1.7)
j'=i
Для действительных движений F& = 1.
Условие инфинитности всех движений системы (1.6) получено в [2451: § 1. Обобщенные цепочки Тоды 353
Предложение 1. Если не существует положительных чисел Si, удов-
N
летворяющих условию Y siai = 0 и > 0. k = 1... ,N, то все
г=1
траектории неограничены, и система при t —>¦ ±сс асимптотически свободна.
