Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.
Скачать (прямая ссылка):
dy (у2-02)(у(Тг+T2)+D(F1-T2))
(].т AF1T2D
AM
dr ^D2F1Fz2(D-V)
+ 8(D - у)2DF22M - (D2 - у2)2)
(?>(Г2 - T1) - у(Т2 + T1)) (WD2F21F22M2 +
1
'i2D2T\T2(D + y) + 8(D + у)2 DF21M - (D2 - у2)2)
(D(F2 - T1) - у(T2 + T1)) (161)2Г2Г2М2 +
(5.31)
По аналогии с центрально-симметричным решением, рассмотрим проекцию траектории на плоскость M1-M3. Физическая область помимо неравенств (5.23) определяется дополнительным условием (следствием соотношением (5.30)
D(D - AF1F2N) > 0. (5.32)
В каждую точку на плоскости M1,M3, удовлетворяющей неравенствам (5.23), (5.32), проектируются две различные точки фазового пространства (два решения уравнения (5.30)). Это можно более наглядно представить себе, если считать, что по линии M1 — M3 = N0 склеены две различные области, определенные неравенством (5.23). При достижении точкой границы Д^ = 0, она отражается обратно и движется по 322
Глава Ji
той же траектории, а при достижении границы (5.32) точка переходит из одной области в другую (см. рис. 56, а, 56, Ь).
M1-M3=N0
м,
0.2 0.4 0.6 0.8 Гі = 2.0, Г2 = 2.0 к = 0.0, D = -2.0.
0.5 1 1.5
Гі = 2.0, Г2 = 2.0 к = 0.9, D = -2.0.
M1-M-=N1
Mt-M11=N,,
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 Mj Гі = -1.0, Г2 = 2.0 к = 0.0, D = -2.0.
MrM3=N0
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 M1 T1 = -1.0, Г2 = 2.0 к = 0.9, D = -2.0.
M1-M1=N0
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 M1 T1 = -1.8, Г2 = 2.0 к = 0.0, D = -2.0.
0.5 1 1.5 M1
Гі = -1.8, Г2 = 2.0 к = 0.9, D = -2.0.
а) Ъ)
Рис. 56
На рисунках мы для удобства развернули области, склеенные по § 5. Разрешимые задачи динамики вихрей на плоскости и сфере 323
линии Mi -M3 = No, где No — корень уравнения (5.32). Отличие плоскости от сферы проявляется в виде физических областей. Для плоскости (см. рис. 56, а) существуют 2 типа траекторий:
1. траектории, касающиеся один раз границы Aj = 0 и уходящие на бесконечность;
2. траектории, заключенные между границами Aj = 0.
Этим случаям соответствуют различные движения вихрей: в первом случае вихри разбегаются, проходя лишь один раз через коллинеар-ную конфигурацию, во втором — вихревые пары попеременно подходят друг через друга (чехарда Гелъмголъца), оставаясь на ограниченном расстоянии. Для сферы существуют только траектории второго типа. Анализ чехарды на плоскости проведен другим методом в [117].
Приведем также для полпоты уравнения движения и геометрическую интерпретацию при нулевом моменте D = 0, (необходимое условие коллапса [128]).
Согласно (5.29) в этом случае у = 0, и все взаимные расстояния Mi, ... , M4 могут быть выражены через переменные х, M по формулам
M2 — ,Г2ж M4 — ,, N= ~
Гі(Гі+Г2)' Г2(Г!+Г2)' Tl+T2
Mi = ^(M +N), M3 = I1(M-N).
Уравнения движения для т = (Гі + Т2)М и х имеют вид
dx _ _9 2 ат
Траектория, определяемая системой (5.33), находится из уравнения
Схі!а I (Tl T2
(5.33)
— С*--г' "-Urt + FrJ- (5'34)
где С — константа интегрирования. Уравнение, определяющее вид области (Aj > 0) на плоскости то, х имеет вид 324
Глава Ji
Анализируя (5.34), (5.35) вблизи начала координат то, = х = 0, можно заключить, что для зеркальносимметричного решения одновременный коллапс четырех вихрей невозможен.
Разобранные выше интегрируемые системы вихревой динамики допускают достаточно полный анализ с помощью качественного исследования динамических систем на плоскости. В то же время применение для них классических методов явного решения с помощью теории специальных (абелевых) функций приводит к очень громоздеким выражениям, не позволяющим составить какого-либо представления о реальном движении [52].
3. Стационарные и статические вихревые конфигурации.
а. Стационарные конфигурации. Приведенные в §§1,2 формы уравнений динамики вихрей на плоскости и на сфере могут быть использованы для нахождения стационарных конфигураций, являющихся частными решениями уравнений движения. При этом вихри в некоторой вращающейся системе координат являются неподвижными.
Условиями стационарности вихревых конфигураций являются требования сохранения N(N — 1)/2 взаимных расстояний: Mij = 0. В относительных переменных они имеют одну и ту же форму, как для конфигураций на плоскости, так и на сфере:
Значения Aiji-(M) фиксированы функциями Казимира (1.12) и (2.17). Большинство известных стационарных конфигураций вихрей на плоскости содержится в Лос-Аламосском каталоге (см. [216]). В нем собраны частные решения, найденные с помощью компьютерных расчетов, когда вихри располагаются не только на одной, но и на нескольких концентрических окружностях — «атомных оболочках» по терминологии Кельвина. Стационарные конфигурации на сфере с такой общностью еще не изучены.
Условия стационарности (5.36) очень наглядны для нахождения симметричных конфигураций [117]. На плоскости такое решение представляет собой конфигурацию N вихрей одинаковой интенсивности Г, располагающихся в вершинах правильного многоугольника, вписанного
(5.36) § 5. Разрешимые задачи динамики вихрей на плоскости и сфере 325
