Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.
Скачать (прямая ссылка):
Для случая четырех вихрей явные формулы квадратов расстояний OT первых трех вихрей ДО четвертого вихря Мі4,М24,Мз4 имеют вид
(5.4)
для Mii
JV
(5.5)
Jfe=I
Mi4 =
Г3М13 + T2Mi2 + Г2Г3(Мі2 - M23 + M13) (Гі+Г2+Г3)2
(5.6)
соответствующий приведенный гамильтониан получается подстановкой (5.6) в исходный (1.2).310
Глава Ji
Так как система трех вихрей интегрируема (вне зависимости от гамильтониана, заданного на алгебре (3.3)), описанный случай соответствует частному случаю интегрируемости задачи четырех вихрей (восходящему к Кирхгофу [74]).
-0.5
- —
'' M I г / V, у I /'_,.-—'-'s V
і I' 1 r1 о 1 I I « , і : / . - v \ ', ' ' ' I .
\ M ^0? J ' I1 I Я 'U j 1 5/г і і I I чУ/z
у - I ¦ . --і. -
0.5
-0.5 -1
Рис. 50. Фазовый портрет движения четырех вихрей на плоскости с нулевой суммарной интенсивностью для случаев а) аі ф а2 ф аз ф ai; b) ai = а2 = аз.
Замечание 2. В работе [233] выполнено понижение порядка и приведены фазовые портреты интегрируемого случая задачи с пулевой суммарной интенсивностью и нулевым суммарным моментом. При этом использована каноническая форма записи уравнений движения. В то же время на симплектическом листе алгебры трех вихрей, определяемом появившемся (вследствие интегрируемости) инвариантным соотношением типа интеграла момента с константой Di, имеются стандартные канонические переменные L, I. Условие компактности симплектического листа будет иметь очень простую форму —§ 5. Разрешимые задачи динамики вихрей на плоскости и сфере 311
три вихря из четырех имеют интенсивности одного знака. В компактном случае при различных значениях интенсивностей фазовые портреты представлены па рис. 50, а проекции траекторий па плоскость Mi, M2, Mz на рис. 51. В общей ситуации неравных интенсивностей имеется шесть коллинеарных устойчивых решений и три неколлинеарных неустойчивых. Последние решения обобщают томсоновские конфигурации, однако расстояния между вихрями не равны друг другу. Связь между энергией E и моментом Di для стационарных решений опрсделястя зависимостью
? = /(^,1^3)0^ + 11 +Г§),
где /(Гі,Гг,Гз) — некоторая функция, зависящая от интенсивностей. Бифуркационный анализ, состоящий в нахождении явного вида функции /(Гі,Гг,Гз), может быть выполнен аналогично §3.
В случае, если имеются лишь две интенсивности одного знака, симплектический лист некомпактен и могут существовать рассеивающие движения. Регулярное рассеяние, например, возможно в случае взаимодействия двух (вообще говоря, различных) вихревых пар [233] (рис. 53). Насколько нам известно, в общем случае условия коллапса и рассеяния в рассматриваемой задаче не изучены.
Замечание 3. Указанные частные случаи интегрируемости соответствуют ситуации, при которой один из интегралов достигает своего экстремального значения. Очевидно, что при этом в системе обязательно появляются дополнительные инвариантные соотношения. Для интегрируемых систем это приводит к дополнительному вырождению. Примером может служить случай Делоне для волчка Ковалевской. В этом случае интеграл Ковалевской, являющийся суммой двух полных квадратов обращается в ноль, и двумерные торы вырождаются в одномерные (периодические и асимптотические решения).
2. Частные решения в задаче 4-х вихрей. Общие уравнения движения вихрей (§§ 1,2) при некоторых ограничениях на интенсивности Г,- допускает конечную группу симметрий, элементами которой являются перестановки и отражения в некоторых плоскостях. Такие дискретные симметрии не приводят к существованию общих интегралов движения и не позволяют понизить порядок системы. Однако наличие этих симметрий связано с инвариантными подмногообразиями, решение на которых может быть, как правило, получено в квадратурах [117].
Рассмотрим две задачи динамики четырех вихрей на плоскости и сфере, обладающих двумя типами симметрии центрально-312 Глава ji
Рис. 51. Геометрическая проекция для случая 4 вихрей на плоскости при нулевой суммарной завихренности: а) а\ = яг = «з; б) а\ = яг ф «з; в) «і ф агф аз-
симметричная и зеркально-симметричная (для плоскости также — осе-симметричная).
а. Центрально-симметричное решение при D = 0. Уравнения движения четырех вихрей па сфере (§ 2) (плоский случай получается предельным переходом R —>• ос) при условии Гі = Гз, Г2 = Г4 допуска-§ 5. Разрешимые задачи динамики вихрей на плоскости и сфере
313
ют инвариантные соотношения
M14 = M23 = M14 = M1. M12 = M34 = M3, 7
Д234 = Ді24 = Ai, A213 = A314 = A2.
(Соотношения (5.7) определяют непуассоново подмногообразие).
Геометрический смысл уравнений (5.7) в том, что центрально-симметричная конфигурация вихрей параллелограмм, сохраняет эту симметрию во все моменты времени (см. рис. 52).
Анализ центрально-симметричного решения в абсолютных переменных при помощи явных квадратур выполнен Д.Н.Горячевым [53] (см. также [182]). Однако он мало прояснил качественные свойства движения и привел к очень 3/ запутанной классификации. Приведем Pj качественный анализ относительного движения. Рис:- 52