Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.
Скачать (прямая ссылка):
A1 = (M4 -M1- М3)Д, A2 = (M2 -M1- М3)Д. (5.16)
и сделаем замену
dt = dr.
M1M3
Получается система, описывающая эволюцию переменных M1, M2, M3, M4
/ (M2 -M1- М3)(М3 - M2) Mi = M1I T1^--—ЗА 3--1 +
V M2
_ (M4-M1- M3)(M3 - M4) +Гг-M4-
м, = Мз (Ti (M2 - M1-M3KM2-M1) + \ M2
(M4 -M1- М3)(М4 - M1)1
M4
M^ = 2Г2(М2 -M1- М3)(МІ - M3), М'4 = 2Гі (M4 -M1- M3)(Ml - M3).
Приведем линейную замену переменных, сводящую систему (5.17) к двум дифференциальным уравнениям в наиболее простой форме.
Выберем переменные х,у, М, N:
X = T1M2+T2M4, V = T21M2-T22M4, M = M1+M3, N = M1-M3. '
С помощью соотношения (5.11) при D = 0 и (5.10), которое принимает вид
X =----^--, (5.19) 318 Глава Ji
исключим х.М из (5.17). В результате получаются уравнения для эволюции у, N
^=i(T1+T2)yN,
dN _ 1
dr 4(Г! + Г2)3Г?Г1
2А;»-ГІ(ГІ + Г2)
Г2(*:У-ГІ(ГІ+Г2))
+
(4Г?Г2(Г! + T2)4N2 -
- у2(2ку -T21+ T22^kyiT1 + 2Г2) - Гі(Гі + ЗГ2)(Гі + Г2)))
+т2 (к tr Tri :гл И^+r2^4jv2 - ^
T1Iky + Г2(ГІ + Г2)) V
- у2(2ку -T21+ Т2)(2ку(Т2 + 2Гі) + Г2(Г2 + ЗГі)(Гі + Г2)))
Проекция траектории y(t), N(t) па плоскость M1^M3 определяется формулами M1 = -^(M + N), M3 =
\(M-N), где
v+_У-
2rir2(ri + r2)tf ібіг2гіг2(гі + г2)2'
М = ^^ .г,,2- (ГіГ2 < 0). (5.21)
Уравнение (5.21) допускает вещественные решения лишь при M ^ (Г — Г ^2
^ Mmax = — -—=-т=—-E2. Поэтому в случае сферы физически доступ-1 1І 2
ная область на плоскости определяется неравенствами
M1+M3 ^ Mmax, (5.22)
AA21 = 2{M1Mi + M3Mi + M1M3) -
- M2 - M2 - Mj - -^M1M3M4 > о
К
4Д2 = 2(MiM2 + M3M2 + M1M3) -
т 2 т\/г2 т\/г2 J1
К
(5.23)
M2 - M2 - M2 - ^M1M3M2 > 0.
В области (5.22) уравнение (5.21) имеет два корня, поэтому на плоскость Mi, M3 проектируются две различные области возможных расположений вихрей, определяемые неравенствами (5.23) и уравнениями (5.21). Если области (5.23) не достигают § 5. Разрешимые задачи динамики вихрей на плоскости и сфере 319
Гі = —0.183. а) Г2 = 2.0, k = 0.6.
0.2 0.4 M1 T1 = -0.183,
с) Г2 = 0.683,
к = 0.6.
Рис. 54
прямой Mi+M3 = Mmax, то точка, начиная двигаться внутри одной области, остается там во все моменты времени. При достижении границ (А; = 0) необходимо сменить знак времени, и траектория проходится в обратном направлении. В случае, когда прямая Mi + M3 = Mmax проходит внутри областей (5.23), траектория, достигая ее, переходит из одной области в другую и описывается другим решением уравнения (5.21). Характерной особенностью фазовых портретов в случае сферы является появление новой неподвижной точки, отсутствующей в плоском случае. В случае выполнения второго необходимого условия коллапса (Г2 + T2 = —4Г]Гі), как видно из рис. 54,с, часть траекторий, выходящих из начала координат, вновь попадает туда не достигая границы области (коллинеарных положений), а часть только после ее достижения. Это означает, что коллапс остается однородным лишь вблизи начала координат.
Ь. Зеркально-симметричное решение. Для системы двух взаимодействующих вихревых пар Гі = Г4, Г2 = —Г3 общая система четырех вихрей на сфере и на плоскости также допускает инвариантные соотношения
Mi2 = M34 = Mu Дігз = Д2з4 = Ді,
M13 = M24 = M3,
Д124 = Д134 = A2.
(5.24)
Геометрический смысл этих уравнений заключается в том, что вихри, расположенные в начальный момент в вершинах трапеции, образуют трапецию во все время движения (см. рис. 55). Данная конфигурация 320
Глава Ji
обладает зеркальной (осевой) симметрией. Уравнения, описывающие эволюцию сторон и диагоналей трапеции, имеют вид
M1 = 4Г2ДІ M3 = 4Г2ДІ M2 = 8Г2Д2 M4 = 8г1д1
\м4 M3
1
M4
1
M1
+ 4Гі Д2 + 4Г2Д2
1
M2 1
M2
1
M3 1
M1
J___1_
M1 M3
___1_
M1 M3
(5.25)
Здесь M2 = M14, M4 = M23 — основания трапеции.
Геометрические соотношения между М, Д (2.19) в данном случае имеют одинаковую форму па плоскости и сфере:
A1M4 + Д2(М3 — M1) = 0, Д1(М3-М1) + Д2М2=0,
(5.26)
Рис. 55
и условие разрешимости
M2M4 - (M1 - M3)2 = 0. (5.27) Интеграл момента (3.10) имеет вид:
D = 2Г1Г2(М1 — M3) — T2M4 — T2M2. (5.28)
Из уравнений (5.25), (5.26), (5-27) следует, что траектория системы в пространстве M1, M2, M3, M4 совпадает для динамики вихрей па плоскости и сфере. Различие между этими задачами заключается в виде физических областей, определяемых неравенствами (5.23).
С помощью уравнений (5.26) выразим A1, Д2 по формулам
A1 = (M2 -M1+ М3)Д, A2 = -(M4 -M1+ Ms)А. и исключим А с помощью регуляризующей замены времени
dt= J^j сіт.
M1M3 § 5. Разрешимые задачи динамики вихрей на плоскости и сфере 321
Для того, чтобы привести регуляризоваииые уравнения к системе двух уравнений, выполним замену (5.18). Вследствие существования интеграла момента, между переменными х, у выполнено соотношение
4ГіГз Dx+ у2 + 2P^Dy + D2= 0. (5.29)
T1 + Г2 " T1 + Г2 Используя (5.29) и уравнение (5.27), находим
(5-30)
При D ф 0 из соотношений (5.28), (5.29) и (5.30) все M1, M2, M3, M4 могут быть выражены через М,у. Для переменных М,у получим уравнения вида:
