Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.
Скачать (прямая ссылка):
в окружность радиуса R0. Система вращается с угловой скоростью
О
T(N - 1) 4ttR2
(5.37)
За исследование таких конфигураций Дж. Дж. Томсон был удостоен премии Адамса в 1883 г. [328]. Эти решения легли в основу пропагандировавшейся В. Кельвином (до создания квантовой механики) теории вихревых атомов. Аналогичная конфигурация вихрей равной интенсивности на сфере радиуса R располагается, согласно уравнениям (2.7), на широте в = O0, координаты <р связаны условиями: ipk — (pi = (к — i)2Tr/N (см. рис. 57). Угловая скорость вращения вокруг оси z:
П
T(N - 1) AttR2
cos Oq .
(5.38)
Интересно, что угловая скорость цепочки вихрей убывает от полюсов к экватору, и на экваторе конфигурация становится статической.
Замечание 6. Для плоских конфигураций вопрос об устойчивости в линейном приближении был решен еще Томсоном, который показал, что такая конфигурация при N Sj 6 будет устойчивой, а при N^ 7 — неустойчивой (теорема Томсона). Анализ устойчивости в нелинейном приближении с использованием нормализации Биркгофа был проведен в [158]. Оказалось, что теорема Томсона является справедливой в точной постановке — в смысле устойчивости по Ляпунову. Обобщение этих результатов на случай сферы представляет собой содержательную и интересную проблему (см. приложение G).
Следующее решение системы (5.36) — коллинеарные конфигурации: N одинаковых вихрей на прямой вращаются с угловой Рис- 57 скоростью Л вокруг оси, лежащей в плоскости. Такого рода коллинеарные конфигурации восходят еще к Стилтьесу [117] и изучались Калод-жеро [213]. На сфере радиуса R коллинеарпая конфигурация вращается вокруг оси z с угловой скоростью О (см. рис. 58).326
Глава Ji
Коллинеарные конфигурации па сфере указаны в [205]. Их можно найти, используя следующее условие — координаты Lpi точечных вихрей имеют равные значения, или отличаются на тт. При этом Aiji(M) = = 0, а координаты Bi (0 ^ в < 27г) являются корнями системы тригонометрических уравнений:
iV
AttB2Q, sin Ok = Ti ctg ( вк ~ 0i j , (1 ^k ^N). (5.39)
Рассмотрим более подробно систему вихрей равной интенсивности Tfc = 1, к = 1,... ,N. В этом случае корни Oi, определяющие коллинеарные конфигурации, можно найти как положения равновесия системы N частиц на окружности, задаваемой гамильтонианом
jv nn
Н =IYpI+ 4^? Y'cos в* + Y111
к=1 к=1 і,к=1
^k — ві
(5.40)
Действительно, положения равновесия такой цепочки частиц совпадают с корнями системы (5.39). Такая связь в плоском случае была отмечена Калоджеро [213]. Положения одинаковых вихрей на прямой в плоском случае задаются пулями полипома Эрмита N-ой степени. Система (5.40) при Si = 0 рассматривалась в работах [230] при изучении статистических свойств уровней энергии одномерного классического куло-новского газа. В книге [137] приведены результаты анализа положений равновесия системы (5.40) при U = 0: Oi = 0О + ктт/N, к = 1,... ,N на линейную устойчивость.
Отметим, что задача, определяемая гамильтонианом (5.40), в общем случае не является интегрируемой (как и в плоском случае [213]). На рис. 59 приведен фазовый портрет отображения Пуанкаре при N = 2, ft ф 0. Наличие областей стохастичности свидетельствует о неинтегрируемости гамильтоновых уравнений движения (5.40).
*
4
в/ '
О
\
Рис. 58§ 5. Разрешимые задачи динамики вихрей на плоскости и сфере
327
Случай же цепочки «атомов» на окружности без «внешнего» потен- 2 циального поля (О = 0), взаимодействующих по закону (5.40), положения равновесия которых совпадают со статической коллинеарной конфигурацией вихрей на меридиане, заслуживает особого рассмот- Рис. 59 рения. Более подробно вопрос о интегрируемости системы (5.40), называемой также системой Дайсона, обсуждаются в приложении Е. Оно оказывается также пеиптсгрируе-мой, но обладает «квазиинтегралом», хорошо аппроксимирующим поведение системы при малых значениях энергии.
Ь. Статические конфигурации. Можно показать из условий (5.36), что конфигурации вихрей равной интенсивности, формирующие Платоновы тела (правильные многогранники: тетраэдр, октаэдр, куб, икосаэдр, додекаэдр) [47, 50], также являются стационарными. Из соображений симметрии очевидно, что Платоновы тела статичны, то есть не вращаются. Действительно, произвольное расположение вихрей па сфере задает начальные условия в фазовом пространстве (задачу Коши). В рассматриваемом случае угловая скорость вращения Платонова тела будет равна нулю в силу отсутствия выделенной оси вращения. Заметим, что на плоскости не существует статических конфигураций из вихрей равной интенсивности [117]. Замечание. Интересной, но и достаточно сложной, является проблема устойчивости статических конфигураций на сфере. Даже в случае интегрируемой ситуации трех вихрей вопрос об их устойчивости не может быть решен до конца в линейном приближении, вследствие наличия резонанса с нулевой частотой. Было бы интересно исследовать степень устойчивости пространственных статических конфигураций (например тетраэдр,
додекаэдр Рис. 60328
Глава Ji