Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим действие линейных преобразований, сохраняющих форму (v)r (6.1). Соответствующие линейные операторы (матрицы) образуют группу изоморфную U(p,q). р + q = п и удовлетворяют соотношением
ХГХ+=Г, r = diag(r1,...,r„), а операторы соответствующей алгебры Ли А Є u(p,q):
AT + TA+ = 0. (6.7)
Учитывая, что Г+ = Г, из соотношения (6.7) следует, что матрица АГ является косоэрмитовой. После такой замены {ф{А) = АГ) стандартный коммутатор переходит в коммутатор [-,-Jr-i (6.3):
ф([А,В]) = [ф(А),ф(В)]г-1.
Преимущество такого подхода состоит в том, что при любых Г.; алгебра (6.7) представляется на одном и том же пространстве косоэрмитовых матриц. Однако вместо стандартного коммутатора необходимо использовать [-,-Jr-I. На соответствующей коалгебре u*(p,q) в этом случае возникает пучок скобок Пуассона {-, -}r_i.
Линейные векторные поля, соответствующие операторам (6.7) в комплексной форме, имеют вид
Va= Az = ф(А) T-1Z
и являются гамильтоновыми [3] с гамильтонианом
Ha = |(Az,z)r = ^tATz = І(ф(А) z,z) = |zT0(A)z. (6.8)
При этом коммутатору [•, -]г-і соответствует скобка {•, - jr-1 функций Гамильтона:
{Нф(А)(ъ).Нф(в){т)}т-г = Щф(А).,ф(В)]т-гъ.,т). (6.9)
Делая стандартное отождествление и(п) и и*(п) при помощи формы (А, В) = Tr AB, мы можем явно описать отображение момента //(z)
Trц{г)ф{А) = Tr Iгтф{А)г = Tr (|zzT) ф{А). Ij 6. Классификация и алгебраическая интерпретация
335
Отсюда
?(z) = |zzr = I
ZnZl
ZlZl
(6.10)
Формула (6.10) определяет отображение па сингулярную симплекти-ческую орбиту алгебры u(p,q) (относительно скобки [-,-Jr-i). Интеграл (1.4) I = "^TiZfZi — является функцией Казимира, следовательно, выполнена редукция по нему. В случае всех положительных (отрицательных) интенсивностей орбита топологически гомеоморфна СPn^1, так как при отображении (6.10) склеиваются все точки вида e'^z — орбиты действия группы вращения (6.4).
На приведенном пространстве матриц (6.10) выполним редукцию по оставшимся интегралам Р, Q (1.4). Вследствие их некоммутативное™ возможна редукция лишь на одну степень свободы (§8 гл. 1). Постоянное векторное поле, соответствущее трансляции в направлении а = ах + гау порождается линейным гамильтонианом вида
Несложно показать, что гамильтонианы (6.8), коммутирующие с H1 порождаются матрицами, для которых
То есть ф(А) принадлежат подпространству L, определенному в предыдущем пункте (матрицы (6.10) этому пространству не принадлежат).
Теперь легко видеть, что квадраты взаимных расстояний и площадей также допускают естественное представление вида
Мц(х,у) = IZi - ZiI2 = i(Mi:iz,z), Aijk(x,y) = i(Aijkz, z),
где Mij, Aijk матрицы (6.2). Отображение момента fi(z) в соответствующую алгебру u(p',q'), р' + q' = п — 1, имеет в этом случае вид
Ha = (z,Taz0) = (z,az0)r-
ATz0 = (KA)z0 = 0.
T
z —
(z,z0)rz0
Eri
(6.11) 336
Глава Ji
Матрицы (6.11) удовлетворяют соотношению М(z)zo = 0, т. с. принадлежат подпространству L. определенному в предыдущем пункте. В компактном случае соответствующая орбита гомеоморфна СР™~2 и соответствует приведенному фазовому пространству при редукции на две степени свободы.
Замечание 2. Устройство и условия компактности приведенного фазового пространства можно получить, исследуя (методами аналитической геометрии) совместную поверхность уровня первых интегралов (1.4). Интересно, что алгебраический подход позволяет решить и эту чисто геометрическую задачу.
Замечание 3. (Ко)алгебра и{п) допускает линейную замену переменных Jii
п
і—>¦ hi + \D, D= hi, A = const, сохраняющую коммутационные соотноше-;=і
ния. При этом орбиты, задаваемые матрицами F Є и(п) ранга 1, отображаются в орбиты, для которых единичный ранг имеет матрица (А — XD).
Орбита, задаваемая соотношениями Герона (§ 1) (в компактном случае), после перехода от переменных М, А к стандартным переменным алгебры и(п — 1) оказывается именно среди указанных выше орбит при некотором А.
3. Симплектические координаты. Опишем алгоритм введения симплектических координат для приведенной системы п вихрей в случае компактной алгебры (и(п — 1)). Выше был указан способ приведения вихревой алгебры (для этого случая) к стандартному представлению в виде косоэрмитовых (п — 1) x (п — 1)-матриц с обычным матричным коммутатором:
( ih,\ X12 + '"г/12 • • • Xl.n-l + iyi,n-i\
д _ -X12 + гу12 ih2 ¦ • • ж2,„-1 + «2/1,и-1
\-Ж1,п-1 + Іуі,п-1 -х2,п-1 + гу2,п-1 ¦ ¦ ¦ ihn-i /
(6.12)
Зададим пуассопово отображение К2^™-1) —> и*(п — 1) на сингулярную орбиту и*(п — 1), которую образуют матрицы ранга 1 (то есть любые их миноры 2x2 равны нулю):
hi =Pi
XiJ = л/hihj sm(ipi - ipj), і, j = 1, ... , п - 1. (6.13) Vij = л/hihj cos(ірі - (pj), Ij 6. Классификация и алгебраическая интерпретация
337
Каноническая скобка {(pi,pj\ = S1-J переходит в стандартную скобку Ли Пуассона на и*(п — 1). Орбита в переменных ipi задается соотношением
Р1+Р2 +----H Pn-1 = C = const.
Для введения па ней симплектических координат, выполним каноническую замену
