Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.
Скачать (прямая ссылка):
в случае четырех вихрей) по сравнению с плоской конфигурацией (четыре вихря, расположенные в вершинах квадрата).
Очевидно, все эти вопросы имеют важное значение для физики атмосферы. Условия существования устойчивых стационарных (статических) конфигураций, найденных для модели идеальной жидкости, справедливы и при наличии небольшой вязкости (эта модель является хорошим приближением для атмосферы Земли). Вихри (циклоны, смерчи) будут стремиться попасть в эти состояния и находиться в них достаточно долго. Если в электростатике запрет на существование устойчивых конфигураций зарядов накладывается в трехмерном случае теоремой Ирншоу, то вопрос о возможности устойчивых статических конфигураций вихрей произвольных интенсивностей на сфере остается пока открытым.
Кельвин разрабатывал вихревую статику, развивал концепцию плоских вихревых атомов [329]. Трудно сказать, знал ли он о сферических конфигурацях, но несомненно они ближе к наглядным представлениям Демокрита об атомах.
§ 6. Классификация и алгебраическая
интерпретация системы n-вихрей на плоскости
В § 1 было приведено наивное описание динамики точечных вихрей на плоскости с помощью переменных расстояний и площадей, которые определяют структуру Ли—Пуассона. В этой главе мы рассмотрим более формальные построения [198].
Зададим координаты вихрей хк,ук, к = 1,...,га комплексными числами Zk = + iyk, к = 1,... ,п. Набор z = (zi,... ,zn) определяет вектор в комплексном линейном пространстве С™, в котором имеется эрмитова форма вида
п
(ZtW)r=^riZiWi, єж- (б-1)
S=I
Мнимая часть (6.1) задает симплектическую форму, соответствующую скобке Пуассона (1.3) {:/;,,?} = г^-. Оказывается, что в перемен-
L і
ных М,А получается скобка Ли—Пуассона (1.10), линейно зависящая от обратных интенсивностей.
1. Вихревая алгебра и лиевы пучки. Для определения вещественного типа соответствующей алгебры Ли укажем явный изоморфизм с некоторым лиевым пучком (§5 гл. 1, §9 гл. 2). Ij 6. Классификация и алгебраическая интерпретация
329
Рассмотрим пространство косоэрмитовых матриц размера п х п и подпространство L в нем, порожденное матрицами следующего вида:
\
I 0 1 -1
Apmk = т -1 0 1 , Mba
к 1 -1 0
I
т
—г і
(6.2)
Приведем основные свойства этого подпространства, которые проверяются прямым вычислением. Предложение 1.
1) Подпространство L является подалгеброй Ли,
2) Эта подалгебра изоморфна и(п — 1).
3) Центром этой подалгебры является элемент вида J] -Mm;,
т,1
4) Элементы Aimn порождают подалгебру в L изоморфную но(п — 1),
5) Имеет место следующее соотношение для любых k,l,m,n:
Aklm + Akmn + A Ikn + A min = О,
6) Коммутационные соотношения в алгебре L совпадают с «вихревой скобкой» (1-Ю) для случая, когда все интенсивности равны между собой (и равны единице).
Следовательно, (6.2) задаст ?г-мсрнос (унитарное) линейное представление алгебры Ли и(п — 1). Таких неприводимых представлений не существует, поэтому оно разлагается в сумму стандартного п — 1 представления и одномерного тривиального представления. Это разложение устроено следующим образом.
Предложение 2. Пространство представления V = С™ разлагается в прямую сумму инвариантых подпространств V = ViQV2, где Vl = Cn-1
задается уравнением zi+z2~\-----1-zn = 0, а одномерное подпространство
V2 = С натянуто на вектор Zq = (1,1,..., 1). 330
Глава Ji
Перейдем к случаю произвольных интенсивностей Гі,... ,Гп. Рассмотрим лиев пучок на алгебре косоэрмитовых N х -ZV-матриц, порожденный коммутаторами вида
[X, Г]г-1 = - ГГ_1Х, (6.3)
где Г-1 вещественная диагональная матрица вида
Г"1 =
Г2
V ih/
(6.4)
Замечательным является тот факт, что подалгебра L является замкнутой относительно коммутатора [•, -]г-і и, следовательно, семейство коммутаторов порождает некоторый лиев пучок на L. Более того, ограничивая на L коммутатор [-. -Jr-1 ? мы получаем алгебру Ли, изоморфную «вихревой алгебре» Lr, отвечающей иптепсивпостям Гі,...,Г„. Таким образом, можно установить симметричный изоморфизм между семейством вихревых алгебр и несложным лиевым пучком. Пользуясь этой конструкцией, опишем свойства вихревых алгебр. Предложение 3. При положительных Г, вихревая алгебра изолюрф-на гі(п — 1).
Доказательство.
Соответствующий изоморфизм строится следующим образом. Пусть все интенсивности равны единице. Все матрицы (6.2) являются косоэрмитовыми, удовлетворяют следующему свойству Azq = 0, где Zo — вектор с координатами (1, 1, .... 1). Другими словами, этот вектор инвариантен под действием вихревой алгебры. Следовательно, инвариантно и его ортогональное дополнение, то есть гиперплоскость Vi = {z I E zi = 0}- Рассмотрим все косоэрмитовы матрицы, обладающие этим свойством (то есть запуляющие фиксированные вектор) — они образуют подалгебру и(п — 1). Таким образом, вихревая подалгебра вкладывается в и(п— 1). Но их размерности совпадают, поэтому совпадают и сами алгебры.
Более явно это можно показать, перейдя к другому базису в пространстве Cra. Рассмотрим базис ві, в2,. ¦., еп следующего вида: ei,...,en_i ортонормированный базис в гиперплоскости Vi, а еп = Ij 6. Классификация и алгебраическая интерпретация
