Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.
Скачать (прямая ссылка):
Покажем, что справедливо Предложение 2. Если найдутся положительные числа Si, для кото-
N
рых Y 8і°-і = Ou все gk > 0, к = 1,... ,N, то все траектории системі
мы (1.6) финитны.
Доказательство.
Согласно (1.6), энергия представляет собой положительно определенную квадратичную форму переменных , <ц., і = 1,...,т, к = 1,... ,N, следовательно, для всех траекторий Ьі: ограничены
сверху. Из (1.4), (1.7) следует, что существует интеграл движения
F = а®1 • • • a%N =1, Si > 0.
Отсюда при условии ограниченности сверху а.і следует их ограниченность снизу.
Так как «j = ограничены сверху и снизу, то проекция q
па R^ ограничена. ¦
Легко проверить, что обычная незамкнутая цепочка, для которой N = п - 1 и Q1 = (1,-1,0,... ,0), а2 = (0,1,-1,... ,0), ... , а„_і = (0,... , 1, —1), функция Гамильтона
п п — 1
H = \Y,p2i + T,ea{qi~qi+1) (1-8)
4=1 « = 1
удовлетворяет предложению 1. Для замкнутой цепочки добавляется вектор ап = (—1,0,... , 1):
п п
H=lY,Pi + Y,ea{q'~q'+L)> (Vn+i = qi) (1.9)
І= 1 Z = I
п
и Y ап = поэтому по предложению 2 все траектории этой системы ;=і
финитны в системе центра масс. 354
Глава Ji
Перенумеруем координаты фазового пространства:
X1 = 0,1, X2 = а.2, ... ,XN = aN; xN+1 = Ьг, ... ,x,N+m = bm. (1.10)
Тогда ненулевые независимые структурные константы: л -,з - - ,.jv _ і
(1Л1)
ck,N+j = Akj-, к = т + 1,... ,N, j = l,...,то.
Гамильтониан (1.6) в переменных (1.10) является квадратичным и может рассматриваться как кинетическая энергия некоторого «волчка Эйлера».
jv+ т N т
H = T=I IihXiXk = ^ J^giXi2 + Cijx{i+N)xu+N), (1.12) i,h=l і—1 1
где Pk — «тензор инерции». Заметим, однако, что квадратичная форма (1.12) не обязательно является положительно определенной.
В явном виде уравнения Гамильтона со скобкой (1.4) и гамильтонианом (1.6) имеют вид:
Xk = ^iIilXjXl. (1.13)
Такая форма представления уравнений движения восходит к Флаш-ке [237], который применил ее к обычной цепочке Тоды.
2. Интегрируемые обобщенные цепочки Тоды. Метод Ковалевской. Исследованию интегрируемости обобщенных цепочек Тоды посвящены работы [98, 99, 176, 199]. В работе [98] исследованы обобщенные периодические (замкнутые) цепочки Тоды и найден критерий вполне алгебраической интегрируемости (в смысле Адлера и ван Мербе-ке) этих цепочек. Этот метод основан на развитии идей Ковалевской о связи интегрируемости с существованием полнопараметрического семейства решений, прсдставимых в виде сходящихся рядов JIopana на комплексной плоскости времени.
В работе [99] введено более широкое определение, чем в [98] обобщенных цепочек Тоды, являющихся аналогом замкнутой цепочки (1.9). При этом предполагается, что gi ^ 0, і = и векторы Ct1,... , otN, образующие спектр гамильтониана (1.1), удовлетворяют следующим условиям: § 1. Обобщенные цепочки Тоды
355
(г) векторы Qi,... , Qn+1 таковы, что любые п из них линейно неза-
га+1
висимы, и Y^1 Piai = 0, где все pi > 0;
І= 1
(U) векторы ai,..., Ctjsr так группируются в семейства Fs (s = = 1,... ,п+ 1), что каждый вектор Otj из Fs сопаправлеп с as, и Qjl < |as|;
(гіг) ft / 0 для всех г (г = 1,... ,п + 1).
(Из этих условий и предложения 2 следует, что все траектории финитны.)
Для такого рода цепочек в работе [98] были проанализированы числа Ковалевской (количество различных полнопараметрических семейств мсроморфпых решений аналитических систем дифференциальных уравнений). Определение работы [176] получается в предположении, что каждое из множеств Fs состоит из единственного вектора Qs. Как в [176], так и в [98], классификация цепочек Тоды связана с корневыми системами в теории полупростых алгебр Ли [8, 316]. При этом обычные незамкнутая (1.8) и замкнутая (1.9) цепочки определяются соответственно классической и пополненной схемами Дын-кипа алгебры An. Эта неожиданная связь была впервые замечена О.И.Богоявленским [18, 199]. Диаграммы Дынкина (или «оснащенные» графы Кокстера) работы [98] получаются из диаграмм [176] с учетом добавления векторов вида а„/2. Интегрируемость таких пополненных цепочек Тоды установлена в [98, 99].
Замечание 1. Отметим, что динамика периодической цепочки (и ее обобщений согласно условиям (г), (ii), (Hi)) является более сложной по сравнению с непериодическими аналогами. Если для непериодической интегрируемой цепочки величины cxp(a;q;(<)) являются рациональными функциями экспонент ехр(Аkt), то в периодическом случае ехр(ск.;ф(<)) испытывают сложные нелинейные колебания. Интегрирование в квадратурах при этом выполняется с помощью тэта-функций методами алгебраической геометрии. (По этому поводу см. книгу [137] и обзор [60, 132].)
В работе [99] получены условия существования у системы (1.1) с положительно определенной формой кинетической энергии полного па-бора полиномиальных по импульсам первых интегралов (в этом случае система называется интегрируемой по Биркгофу). Эти условия также можно интерпретировать в терминах диаграмм Дынкина, получающихся из известных диаграмм простых корней градуированных алгебр 356
