Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.
Скачать (прямая ссылка):
Уравнения, описывающие эволюцию сторон — M1, M3 и диагоналей M13 = M2, M24 = M4 параллелограмма, имеют вид
M1 = -Ir1A2 I —---— ) + Ir2A1 I —---—
1 1 2 VM2 M3I ^ 2 1 VM4 M3
Мз = 4ГіА2 4ГаАі YM1'Ml
M2 = 8Г2Д2 M4 = Sr1A1
J___1_
M3 M1
_j___1_
M3 M1
(5.8)
Геометрические соотношения (2.19) с учетом (5.7) представим в форме
Ai (4R2 - M2) + A2 (4І?2 -M1- M3) = О, A1 (4R2 -M1- M3) + A2 (4R2 - M4) = 0.
(5.9)314 Глава Ji
Система (5.9) разрешима относительно Ai, A2 при условии
2(M1 + M3) - (M2 + М4) + -±- (M2M4 - (M1 + M3)2) = 0. (5.10)
4 R
Линейный интеграл уравнений (5.8), соответствующий функции Казимира (1.13), имеет вид
D = IT1T^M1+ M3)+ T21M2+T22M4. (5.11)
С помощью соотношений (5.9), (5.10), (5.11) и регуляризации времени система (5.8) может быть сведена к двум неоднородным уравнениям, описывающим эволюцию сторон параллелограмма M1, M3.
Для простоты ограничимся случаем D = 0, являющимся также необходимым условием коллапса [128]. Геометрическая интерпретация на плоскости и сфере несколько отличаются, поэтому рассмотрим эти случаи по отдельности.
1) Соотношения (5.9), (5.10) для плоскости (R —> ос) имеют вид
Al = -д2 = д,
(5.12)
2(M1 + M3) - (M2 + M4) = 0.
Учитывая, что в (5.11) D = 0, находим уравнение, описывающее траекторию системы на плоскости M1, M3 (стороны параллелограмма)
ClM1 = M1 (2ГіГа(Мі + M3) + (Г2 + F2)M3) dM3 ~ M3 (2Т1Т2(М1 + M3) + (Г? + T2JM1)'
Решение этого уравнения имеет вид
(M1 - M3)2 = (M1 + M3)2 -С (M1 + М3)~2а ,
г2 + г2
а = /ГГ г 2 ' с = const-41 її 2
(5.13)
(5.14)
(показатель а < 0, в силу того, что при D = 0 интенсивности Ti5Ta разного знака).
В квадранте M1 > 0, M2 > 0, (который соответствует физической области), в зависимости от а возможны три типа траекторий (5.14):§ 5. Разрешимые задачи динамики вихрей на плоскости и сфере
315
— 1 < а < О — все траектории замкнуты,
выходят из начала координат, касаясь осей OMi OM2 (см. рис. 53, а) (неоднородный коллапс).
а < — 1 — траектории — кривые, асимптотически приближающиеся к координатным осям ( см. рис. 53, Ь).
сх = — 1 все траектории прямые,
проходящие через начало координат (см. рис. 53, с) (однородный коллапс) [128].
а) Г2 = 2.0, Ь) Г2 = 2.0, с) Г2 = 0.683,
k = 0.0. к = 0.0. к = 0.0. Рис. 53
Физическая область на плоскости Mi, M3 определяется той частью положительного квадранта (Mi > 0, M3 > 0), для которой выполнено неравенство Д2 > 0. При достижении траекторией границы A2 =Ub уравнении (5.13), необходимо поменять знак (отразить), это соответствует той же траектории, проходимой в обрат-пом порядке. Как легко показать, уравнение Д2 = 0 определяет две прямые на плоскости Mi, M3, которые при любых интенсивностях Гі,Гг располагаются внутри квадранта Mi > 0, M3 > 0. Следовательно, за исключением случая 3е вихри движутся в ограниченной области без столкновений и разбегания. В случае 3° в системе либо происходит однородный коллапс всех вихрей, либо однородное разбегание.
Для плоской задачи каждой точке, траектории па плоскости Mi, M3 соответствуют две конфигурации вих-316 Глава Ji
рей, которые отличаются лишь перестановкой: 1 -О- 3, либо 2 -О- 4 (см. рис. 52).
Замечание 4. Условие однородного коллапса
(а = —1) из анализа движения в абсолютных переменных получено в [128]. В силу квазиоднородности уравнений его можно получить, исследуя условия существования у системы решений вида М,- = C;^, С,- = const.
Замечание 5. Для плоскости система (5.8) при помощи регуляризации
dr = ,, , f ,, dt,
MiM2M3M4
приводится к однородной гамильтоповой системе dMi
d.T
dM3
= TiMiMiiM3 - M2) + Г2МіМ2(М4 - M3), о,т
dr dM2 dr dMi
dr
со скобкой Пуассона вида
= T1M3M4IM2 - M1) + Г2М2М3(Мі - M3), = 2Г2М2М4(Мі - M3), = 2ГІМ2М4(М3 - Mi)
{Ml,M2) = !-MiM2M3M4, {Ml,M3) = I _ MiM2M3M4,
{M2,M3} = J-MiM2M3M4, {Ml, M4) = -J-MiM2M3M4, (5.15) Il I2
{M2, M4) = 0. {M3, M4) = J-MiM2M3M4
і 2
и гамильтонианом
H = 2ГіГ2 111 Ml + Гі InM2 + 2ГіГ2 IiiM3 + T22 In M4.
Пуассонову структуру (5.15) можно получить, используя общую схему редукции, изложенную в § 8 гл. 1. Ранг скобки (5.15) равен двум, следовательно, поделив на MiM2M3M4, ее можно свести к постоянной без нарушения тождества Якоби.
2) Для центрально-симметричной конфигурации на сфере также рассмотрим проекцию траекторий на плоскость Mi,M3 (см. рис. 54). Помимо того, что меняется вид физической области, определяемой неравенствами Д? > 0, і = 1, 2, возникают§ 5. Разрешимые задачи динамики вихрей на плоскости и сфере 317
два отличия от плоского случая, связанные с нелинейностью уравнения (5.10). Во-первых, каждой точке Mi, M3 соответствуют два решения уравнения (5.10), и следовательно два различных (пространственных) параллелограмма с заданными сторонами на сфере, которые не сводятся друг к другу перестановкой 1 —» 3 (2 —» 4). Во-вторых, система (5.8) не сводится к двум квазиоднородным уравнениям.
Выразим Ai и A2 из (5.9) с сохранением однородности