Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.
Скачать (прямая ссылка):
Го = Pl + Р2 H-----1- Pn-1, «0 = ?>1,
П=Р2-\-----l-Pn-1, »1 = -?>1 + ?>2,
(6.14)
г —2 — Рп — 2: Sn-2 — —fn-1 +fn-2-
Легко видеть, что отображение (6.13) не зависит от So5 следовательно, Si, ... , Sn-2, Гі, ... , гп-2 задают симплектические кордипаты на 2(н, — 2)-мерной орбите.
4. Канонические координаты приведенной системы четырех вихрей. Сечение Пуанкаре. При помощи описанного выше алгоритма укажем явно канонические координаты для задачи четырех вихрей равной интенсивности.
Координаты на алгебре и(3), соответствующие матричному представлению вида (6.12)
Ih1 х3 + гу3 -X - 2 + іу2^
A3 = I -х3 + iy3 ih2 X1 + %i I , (6.15)
X2 + гу2 -X1 + Iy1 ih3
согласно предыдущим рассуждениям, линейно выражаются через площади и квадраты расстояний
г k<l k<l
і = 1,...,3.
(6.16)
Для определения коэффициентов S^.y, m(y.)> m(i ) воспользуемся предложением 3 и матричной реализацией (6.2) элементов Ar, Мы, где Ді = = Д234, Дг = —Д134, Д3 = Д124, Д4 = — Дігз- Выберем ортогональную 338
Глава Ji
матрицу С, приводящую матрицы вихревой алгебры (6.16) с помощью преобразования CtAC к виду (6.5), в следующей форме:
/-V2 11 -V2 1 / -V2 1 / 1M 1 /
С = V2 V2 V2 -V2 -V2 V2 V2 V2
V-V2 V2 V2 V2/
(6.17)
Полагая затем одну из координат /ц. ж,;, v/j в получившейся матрице A3 равной 1, а остальные 0, решая систему линейных уравнений, находим соответствующие коэффициенты т\у )-, m(h )- ® данном случае
Xi = |(-Ді + Д2 + Дз - Д-0, X3 = |(-ді - Д2 + Дз + Д4), т = I(Mi3 -M24),
X2 = |(-Д1 + Д2 - Дз + Д4),
Vi = I(M14-M23), Уз = I(M12-M34),
hl = I (M12 + M34 + M13 + M24 - M14 - M23), h2 = і (M12 + M34 - M13 - M24 + M14 + M23), h3 = і(-M12 - M34 + M13 + M24 + M14 + M23).
(6.18)
Канонические координаты (6.14), которые обозначим (g.G.h, Н), задаются соотношениями
Xi = —л/(Н — G)G sing,
ж2 = y/(D - H)G sin(/i + g),
- у'(D-H)(H-G) sin h, yi = у7 (H-G)G cos g.
X3
U2 = V(D -H)G cos(h +я), Zi1 = D - Я, h3 = G,
Уз = у/(D-H)(H-G) cosh, (6'19) h2=H- G,
где D = т ^Mfc; — константа функции Казимира м(3), при
этом
О < G < H < D. Ij 6. Классификация и алгебраическая интерпретация 339
Гамильтониан в новых переменных может быть представлен в форме
U = ^{ln((?> - G)2 - 4(D - Я) (Я - (?) cos2 h) +
+ \n((D - H + G)2 - A(D-H)G cos2 (h + g)) + (6.20) + In (Я2 - 4 (Я - G) cos2 я)}.
Рис. 61. G = 0.3, g = тг/2 Рис. 62. G = 0.3, g = тг/4
Ъч 1 Jkb*"
ъ ГХ ^0.6
" л с Ч V'1'' U.0 T T
0.5 4^0.4 H
Рис. 63. G = 0.3, g = 0
Построим отображение Пуанкаре на плоскости (g,G) при различных значениях энергии E = "H(h,H,g,G). Приведенные на рисунках 61-63 поверхности функции энергии при фиксированных g = g0, 340
Глава Ji
G = Gq, f(h-H) = 1H(Ji-H-^7G) указывают на сложное устройство изоэпергстической поверхности.
Определим секущую плоскость уравнением H = Htt, значение H* необходимо выбрать таким образом, что \/go, G0 < Ht уравнение f(h,H*) = E имеет единственное решение с положительной (отри-
jtj
цательной) производной . Как видно из приведенных рис. 61-63, это
справедливо не для всех Ht (аналогичные условия для секущей плоскости Ii=Hlf практически никогда пс выполняются).
0.5 тт
Рис. 64. Я = 0.5, E
= -3.2
0.5 ж
Рис. 65. Я = 0.5, E =
-3.3
G Gi
0.4^ 'Ж''" IU І^Ь.
PfV р
I - . .Xv- - ¦-• д__
0.5тг ж
(
Я
0.5 тг
Рис. 66. Я = 0.5, E = -3.4 Рис. 67. Я = 0.5, E = -3.6
Томсоновской конфигурации при D = 1 соответствует макси- Ij 6. Классификация и алгебраическая интерпретация
341
G
G
0.3
0.4
0.2
0.1
к
д
Рис. 68. Я = 0.5, E = -6.0
Рис. 69. Я = 0.5, E = -7.5
мально возможное значение энергии Et = —41n2 ~ 2.77..., при этом H = G = Y2; фазовый портрет на плоскости (g,G) в этом случае состоит из единственной прямой G = V2. Фазовые портреты при меньших энергиях (Е < Ет) приведены на рис. 64 69. Закрашенным областям па рис. 64-69 соответствуют области, где движение невозможно (f(h,H*) =E не имеет решений). Хорошо видно, что при уменьшении энергии стохастический слой сначала увеличивается, занимая фактически всю плоскость (рис. 66, 67), а затем уменьшается, сохраняясь лишь вблизи неустойчивых решений и сепаратрис рис. 68, 69. В пределе E —>¦ —оо одна из пар вихрей сливается и получается интегрируемая задача — задача трех вихрей.
5. Представление Лакса—Гейзенберга. Как мы уже видели, в результате редукции уравнения могут быть записаны па орбите копри-соединенного представления алгебры Ли и(п — 1). Эта орбита сингулярна и состоит из матриц вида
где ^ Zi = 0 (в системе, связанной с центром завихренности).
Согласно общему принципу (в силу полупростоты, § 9 гл. 2) мы можем переписать уравнения в форме Лакса—Гейзенберга:
L = ^zzt,
342 Глава Ji
где А = dH(L) дифференциал гамильтониана, который имеет вид H(L) =Y Г*Гі IogMii(L).
Здесь Mij интерпретируется как элемент алгебры и(п — 1), а Mij(L) — это стандартное спаривание между алгеброй и коалгеб-рой, т. с. при сделанном нами отождествлении Mij(L) = ±Tr MijL =
