Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.
Скачать (прямая ссылка):
В основу моментной теории второго порядка, описывающей взаимодействие вихрей Кирхгофа, положены два основных предположения:
1. в процессе эволюции расстояние между вихрями существенно превышает размер вихрей, поэтому вихри не испытывают дефор-
2. в разложении гамильтониана пренебрегаются моментами выше второго порядка.
Соответствующая модель может быть представлена в гамильтоно-вом виде с нелинейной по А скобкой Пуассона [289]
мации;
TkSk 1 -Xj дН 1? 1-А2 дн
«тг A2 o V 8ТГ А| А* д9к
(7.1)
с гамильтонианом
H — H і + H2 + Hз,
(7.2)
где 346 Глава Ji
H - 1 Vr2in(1 + Afe)2
k= 1
H2 =
/г, р
1 - A2 \
+ Sfc—^cos(2(0fcp-vjp)) 1 ,
где Г/., 5? — интенсивность и площадь эллиптического вихря с номером к; Mkp квадрат расстояния между центрами завихренности к го и р-го вихрей; tpk — угол наклона fc-ro эллипса к оси х~, вкр — угол по отношению к оси х, под которым из центра &-го эллипса виден центр р-го эллипса (см. рис. 71).
Рис. 71
Полный гамильтониан представляет из себя:
1. Hi — собственную энергию эллиптического вихря;
2. H2 — энергию системы эквивалентных точечных вихрей; jj 7. Родственные задачи динамики вихрей
347
3. H3 —энергию взаимодействия различных вихрей, обусловленную порядком модели.
Выражения для функции тока в безграничной среде вне области завихренности для моментной модели второго порядка могут быть найдены в [289, 106].
Уравнения (7.1), кроме гамильтониана H обладают первыми интегралами
выражающими трансляционную и вращательную инвариантность системы в абсолютном пространстве.
Кроме интегралов (7.2), (7.4), в рамках модели сохраняется площадь каждого эллипса — это следствие теоремы Кельвина о сохранении циркуляции в идеальной среде [106].
Интегралы Q,P коммутируют согласно (1.5) (см. §1), поэтому их не хватает для интегрирования системы даже двух вихрей Кирхгофа. Однако модель взаимодействия одного вихря Кирхгофа и точечного вихря (система с тремя степенями свободы) уже является интегрируемой.
Следуя общему рецепту (§§ 1, 2), выделим относительную составляющую движения. Получающаяся при этом пуассонова структура может быть приведена к линейной.
2. Взаимодействие вихря Кирхгофа с точечным вихрем. В
качестве относительных координат примем
где Дж = Ж2 — Xi, Ay = У2 — 2/1; хк,Уи — положения центров эллиптического и точечного вихря. Угол р соответствует наклону эллиптического вихря к оси х. Геометрически переменные pi,p-2 представляют собой квадраты проекций па главные оси эллипса вектора, соединяю-
(7.4)
P1 = Ax1 - Ay2) cos(2<?) + AxAysm(Iip), р2 = І(Дж2 - Ay2) sin(2<^) - Ax;Ay cos(2<^),
,2
(7.5) 348
Глава Ji
щего центры вихрей
Pl = M cos(2(0 — ip)),
P2 = -fcos(2(0-<,)). (7'6)
Используя дополнительные переменные
M = Ax2+ Ay2, q= (Л + 1/Л)С/2,
ST
где С = -X-, получим замкнутую алгебру скобок
07Г
{М,р i} = 4(«i + а2)р2,{М,р2} = —4(«i + a2)pi,{p2,pi} = («і + а2)М, {М,д} = 0, {q,Pi} = -P2, U,P2} = Pi,
(7.8)
здесь 0,? = 1/Г&. Структура Ли—Пуассона (7.8) имеет две центральные функции
1. линейную — C1 = M + 4(я,і + a2)q:
І
2. квадратичную — C2 = P1 +P2 — тМ2, причем C2 = О для реальных
движении.
Первая из них представляет (относительный) интеграл момента, вторая отражает геометрическое соотношение между переменными (7.5) и (7.6).
В относительных переменных гамильтониан системы имеет вид
Я = -ХГ?1п [t (q+V^)) - ^1F2InM +
(7.9)
Приводя полученную алгебру скобок Ли—Пуассона к каноническому виду, получим, что при условии («і +а2) ф О она сводится к прямой сумме алгебр R© so(2,1). Действительно, выбирая базисные векторы в виде
_ Pi _ Р2 _ M _ ,
~ 2(«i + а2)' С2"2(fll+O2)' С3"4(fll+O2)' Є° " Єз +
(7.10) jj 7. Родственные задачи динамики вихрей
349
получим следующие скобки Ли—Пуассона
{е0, ек \ = 0, {ei, е2} = -е3, {е2, е3} = Єї, |е3, Єї} = е2
(7.11)
с квадратичной функцией Казимира
C2 =е\+ C22-C23 = 0. (7Л2)
При выполнении условия «і + Of2 = 0, алгебра (7.8) сводится к прямой сумме алгебры R, соответствующей базисному вектору е3 = М, и алгебры е(2), образованной векторами
ei=Pu е2=р2, e0=q (7.13)
со скобками
{e3,efc} = 0, {ei,e2} = -e3, {с2, с3} = 0, {е3,е1]=с2
(7.14)
и квадратичной функцией Казимира
C2 = e21 + el. (7.15)
Уравнения движения в новых переменных позволяют изучить относительные равновесия рассматриваемой системы, устойчивость, построить соответствующие бифуркационные диаграммы. Задача о движении двух вихрей Кирхгофа в общем случае, видимо, не является интегрируемой, хотя это строго и не доказано.
3. Движение вихрей внутри круговой области. В работе [317] с помощью изложенного метода рассмотрена задача о движении точечных вихрей внутри круговой области. Уравнения этой задачи в абсолютных переменных были получены еще Э. Раусом [117]. Оказывается, что для получения уравнений относительного движения необходимо рассмотреть квадраты расстояний между вихрями, а также квадраты расстояний каждого вихря до центра круговой области. Если к этим переменным добавить соответствующую систему площадей треугольников, то образуемая ими пуассонова структура является линейной и ее анализ аналогичен §§3,6. При этом задача о движении двух вихрей будет интегрируемой, ее качественный анализ выполнен в [317]. Задача 350
