Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.
Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике
Автор: Борисов А.Другие авторы: Мамаев И.С.
Издательство: Удмуртский университет
Год издания: 1999
Страницы: 470
Читать: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144
Скачать:
А.В.Борисов, И.С.Мамаев
ПУАССОНОВЫ СТРУКТУРЫ И АЛГЕБРЫ ЛИ В ГАМИЛЬТОНОВОЙ МЕХАНИКЕ
Книга посвящена одному из актуальных направлений в современной теоретической физике - пуассоновым структурам и их приложениям к различным проблемам гамильтоновой механике. Эти задачи возникают в динамике твердого тела, небесной механике, теории вихрей, космологических моделях. Как правило, уравнения движения таких систем можно записать в удобной полиномиальной (алгебраической) форме. Эта форма тесно связана с возможностью представления уравнений движения в виде уравнений Гамильтона с линейной пуассоновой структурой, связанной с некоторой алгеброй Ли. Обсуждаются также нелинейные пуассоновы структуры, связанные с бесконечномерными алгебрами Ли, указаны наиболее типичные случаи их возникновения. Для исследования полученных уравнений применяется метод Пенлеве-Ковалевской. Указаны новые случаи интегрируемости уравнений динамики и изоморфизмы между различными интегрируемыми проблемами.
Для специалистов в области механики и математики, занимающихся теорией
динамических систем, студентов и аспирантов университетов.
Содержание
Введение 10
Глава 1. Скобки Пуассона и гамильтонов формализм 16
§ 1. Определение и примеры скобок Пуассона. Скобки Ли-Пуассона 16
1. Скобки Пуассона и их свойства 16
2. Невырожденная скобка. Симплектическая структура 18
3. Симплектическое слоение. Обобщение теоремы Дарбу 19
4. Пуассоновы подмногообразия. Ограничение скобки 20
5. Примеры неканонических скобок Пуассона. Системы с 21 гироскопическими силами
6. Скобка Ли-Пуассона 22
7. Приложения к механике 25
8. Квадратичные скобки Пуассона 28 §2. Тензорные инварианты динамических систем 30 §3. Теоремы об интегрируемости гамильтоновых систем. Алгебра 33
интегралов
§4. Представление Лакса-Гейзенберга 35
1. Определение. Полупростые алгебры Ли 35
2. Представление со спектральным параметром 38
3. Гамильтоновость уравнений Лакса 39
4. Примеры 40 §5. Бигамильтоновы системы 42
1. Невырожденные бигамильтоновы системы 43
2. Вырожденные бигамильтоновы системы 46
3. Лиевы пучки 47 4. Метод сдвига аргумента 48
5. г-матрица 49
6. Примеры бигамильтоновых систем 50 §6. Уравнения Пуанкаре-Четаева 56
1. Уравнения Пуанкаре 56
2. Гамильтонова форма. Уравнения Пуанкаре-Четаева 57
3. Уравнения Пуанкаре-Четаева на группе Ли 58
4. Инвариантная мера 60 §7. Показатели Ковалевской, интегрируемость и гамильтоновость 61
1. Квазиоднородные системы. Показатели Ковалевской 61
2. Уравнения Гамильтона 63
3. Инвариантная мера 66
4. Примеры 67 §8. Редукции пуассоновых структур 68
1. Понижение порядка - алгебраический аспект 68
2. Общая процедура редукции 70
3. Алгебраические алгоритмы редукции 71
4. Дополнительные замечания 77 §9. Скобка и редукция Дирака 77
1. Процедуры ограничения и скобка Дирака 77
2. Редукция Дирака 79
3. Трансверсальная структура и сингулярные орбиты 81
4. Вырожденные лагранжианы и гамильтонов формализм со связями 81
5. Голономные связи. Сравнение с классическим описанием 84
6. Динамика малых масс 86
7. Дополнительные возможности 89 Глава 2. Скобки Пуассона в динамике твердого тела 90 § 1. Классические формы уравнений динамики твердого тела 90
1. Уравнения движения в направляющих косинусах 91
2. Уравнения Эйлера-Пуассона 94
3. Уравнения Кирхгофа 95
4. Уравнения Пуанкаре-Ламба-Жуковского 98
5. Многомерные обобщения 100 §2. Кватернионное представление уравнений движения 101
1. Параметры Родрига-Гамильтона 101
2. Уравнения движения 103
3. Представление на алгебре е(4) 104 §3. Движение в суперпозиции однородных силовых полей. Приведение 107
1. Приведение к трем взаимоортогональным полям 107
2. Особые случаи 108 §4. Метод Ковалевской-Ляпунова и интегрируемые случаи 110
1. Динамически несимметричный случай 110
2. Обобщение интеграла Гесса-Аппельрота 112 3. Случай динамической симметрии 113
4. Обобщение случая Ковалевской 116
5. Обобщение случая Делоне 117
6. Известные случаи интегрируемости 118
7. Неинтегрируемость и теоремы несуществования 119 §5. Редуцированная пуассонова структура и понижение порядка 121
1. Редукция по углу прецессии 121
2. Редукция по переменной \|/ + ф. Нелинейная алгебра скобок 122 Пуассона
3. Алгебраические преобразования 125
4. Относительные равновесия и аналог конуса Штауде 128
5. Система Леггетта 129 §6. Изоморфизмы интегрируемых случаев 130
1. Изоморфизм между обобщенным случаем Ковалевской и случаем 131 Чаплыгина для уравнений Кирхгофа
2. Задача Якоби на трехмерном эллипсоиде и система Клебша- 133 Переломова
3. Аналогия между волчком Лагранжа и системой Леггетта 137 §7. Принцип Мопертюи и геодезические потоки на сфере 140
1. Метрики на двумерной сфере S2 140
2. Геодезические потоки на S3 146 §8. Ограничение пуассоновой структуры и канонические переменные 148 §9. L-A-пары и бигамильтоновость: лиевы пучки 152
1. Многомерное обобщение волчка Эйлера 153
