Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
[ГЛ. I
При этом пересечение цепи А с циклом Г 1/2*Ь совпадает с пересечением циклов Г 1/2.а и Г 1/2*Ь в слое Ф-1(—1). Таким образом,
L (Varr а, b) = t (Varf а, Г1/2«0) =
= (Л о Г1/2*0)5 = (Г1/а»а о Гі/2*Ь)ф-і (_1)==(а о 0)ф-і(і),
что и требовалось доказать.
Так как форма Зейферта L определяет двойственность группы гомологий Нп_1 (Ф-1 (1)) самой себе, а индекс пересечения—двойственность групп Я„_1(Ф~1(1)) и ЯИ_1(Ф"1(1), дф-*(1)), то имеет место
Теорема 2. Оператор вариации Varf особенности / является изоморфизмом групп гомологий Я„_1(Ф_1(1), дФ-1 (1)) ^ Нп-\(Ф-1 (1)) или, что то же самое, групп Hn^1 (Vs,, dVs) ^ Hn^(Ve).
Замечание. Если бы мы уже имели доказательство теоремы Пикара—гЛефшеца в общем случае, то этот результат можно было бы получить, расписывая матрицу оператора Vary- в отмеченном базисе группы гомологий Яи_1 (Ke) и двойственном к нему базисе группы Я„_1(Ке, dVe) (см. п. 2.5).
Из этой теоремы и леммы 3 вытекает
Теорема 3. Если a, b ? Hn^1(Ve), то
L(a, b) = (Var'1 а о Ь).
Замечание. Определение коэффициента зацепления и формы Зейферта иногда отличаются от приводимых здесь знаком или перестановкой аргументов (например, в [149]).
Форма Зейферта L (а, Ь) очень полезна при изучении топологического строения особенностей. В частности, оказывается, что форма Зейферта (или оператор вариации (Я„_х (Vr8))*—<-Яд_1(Vg)) определяет форму пересечений на группе Нп_1 (Ve) гомологий неособого многообразия уровня.
Теорема 4. Для а, b ? Нп_х (Ve)
(а ob) = — L (а, &) + (—\)nL(b, а).
Доказательство. Так как оператор вариации особенности является изоморфизмом, существуют относительные циклы а', b' Z € ^n-I (Ve, dVe) такие, что a = Var,a', b = Varf b'. Остается применить утверждение леммы 1 п. 1.1 к циклам а' и b'.
Кроме формы пересечений, оператор вариации определяет также действие оператора классической монодромии особенности. Оператор, обратный оператору вариации, действует из группы Нп_1 (Ve) гомологий неособого многообразия уровня в двойственную ей группу H^1 (Ve, dV?). Ему соответствует оператор (Varf1)7": Я„_1 (Ve)—>-—(Ve, dVe), определенный тем, что ((Varf1)7а о b) =L (Ь, а) = = (Varf1 b о а) для а, b ? Hn_г (Ve). В матричной записи это условие означает, что матрица оператора (Varj1)7" получается из матрицы оператора Varf1 транспонированием. § 23
ТОПОЛОГИЯ НЕОСОБОГО МНОЖЕСТВА УРОВНЯ
35
Теорема 5 ([172]). Оператор h* классической монодромии особенности выражается через ее оператор вариации Vary- по формуле
K = (— 1)" Var (Var-1)7".
Доказательство. Имеет место равенство (х о y) = (i*x о у), где х, Ve), г,—гомоморфизм Нп_х (Ve) —(VE, dvj),
индуцированный вложением Ve с_» (Ve, dVE). Вместе с теоремой 4 оно дает
i, = - Varf-1 + (- 1)" (Var fY-
Для оператора классической монодромии особенности имеем /і* = = id + Vary- і» = id—Vary- Varjr1 + (—1)" Var7 (VaTfY -=(-1)" Var7 X X (Varf1)7', что и требовалось доказать.
Аналогичное утверждение имеет место для действия классической монодромии в относительной группе гомологий.
Теорема 6. hin = (— I)" (Var"1)7-Var.
2.4. Доказательство теоремы Пикара — Лефшеца. Здесь мы используем обозначения п. 1.3.
Из того, что оператор вариации Varr-: Нп_1 (F1, OF1) —H^1(F1), как оператор вариации особенности /(X1, . .., xn) = x\-f-.. . -\-х%, является изоморфизмом (теорема 2), следует, что varT, (V) = ± А. Для определения знака в этой формуле воспользуемся теоремой 3. В определении расслоения Ф (для критической точки 0 функции •¦¦ + х%) можно считать, что р = 1. Расслоение Ф: 52л_1\ T —>-
—^S1 задается формулой Ф(х,, . . ., хп)= . х\+''' (1?!1+. ••
... +1 хп |2 = 1). Слой Ф_1(1) этого расслоения диффеоморфен многообразию уровня F1. При этом исчезающему циклу А в многообразии F1 соответствует в слое Ф-1(1) цикл, определяемый уравнениями X1 + .. . + хп — 1, Imxy- = O. Этот цикл мы также будем обозначать через Д.
Имеем JVar"1 А о A) = L (А, А) = / (А, Г1/2«Д) = (— 1)" (A о B)D, где А и В—n-мерные цепи в шаре D = D2n, границы которых лежат на сфере S2"-1 и равны А и Г1/2*Д соответственно. Нетрудно видеть, что для вычисления коэффициента зацепления / (А, Г1/2*А) можно воспользоваться семейством диффеоморфизмов Ff: Ф-1(1)—>-—і-Ф-1 (exp (2nit)), которое не обязательно согласовано со структурой прямого произведения на границе. В качестве него можно взять семейство, определяемое формулой Ti (X1, ..., Xn) = = (CXp^tY)X1, ..., ехр(яі7)х„). Тогда цикл Г1/2*А будет определяться уравнениями xf+...-i-х2 =—1 и Rexy=O. В качестве цепей AnB можно взять цепи в шаре D2n, задаваемые уравнениями -JImxy = 0} и {Rexy = 0} соответственно. При этом ориентации цепей А и В согласованы при помощи отображения A в В, 36
ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ СТРОЕНИЕ
[ГЛ. I
являющегося умножением на і. Если положительно ориентированной системой координат на диске Л является набор U1, ...,«„ (.xj — uj + ivj), то положительно ориентированной системой координат на диске В будет V1, . . ., vn. Цепи A и В являются гладкими многообразиями («-мерными дисками) и пересекаются трансверсально
