Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
Var7 = varv.: Нп_х (Ve, dVs) — На.г (V8)
вариации петли у0.
Базис группы гомологий Нп_х (Vg) =? Zv-ф неособого множества уровня V8 особенности f может быть построен следующим образом. Пусть f = /x,—шевеление функции /, определенное в окрестности шара Bp (в качестве f можно, например, взять шевеление 26
ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ СТРОЕНИЕ
[ГЛ. I
/? = /4-Ag-, где g—линейная функция С"—>-С). Для достаточно малых X (I XI ^ Я0) множество уровня /_1 (є) трансверсально к сфере Sp при |єI^Ce01 и критические значения функции / на шаре Bp по модулю меньше є0. Легко показать, что неособое множество уровня /_1 (є) П Bp диффеоморфно неособому множеству уровня Vs функции / при І є I 5? S0. Из теоремы Сарда следует, что почти все шевеления f функции f имеют в шаре Bp только невырожденные критические точки с различными критическими значениями (в примере так будет для почти всех линейных функций g).
. Докажем, например, что функция f = f + g является морсовской для почти всех линейных функций g: Cn ¦—С. Для этого рассмотрим отображение df: Cn—Cn, задаваемое формулой
df (х) = (df/dXl (х),' ..., df/dxn (х)) (х = (X1, ...,хп) ? С).
Почти все значения (Z1, ...,In) ? С" являются некритическими для этого отображения (теорема Сарда). Если (I1, ...,In)—некритическое значение отображения df, то функция /—^iIfXj-
і
имеет только невырожденные критические точки. Действительно, критические ТОЧКИ функции /-^jljXj—это точки, в которых
df/dxj—Ij- = 0 (/= 1, ..., п), т. е. это—прообразы точки (I1, ...,/„) при отображении df. Поскольку значение (I1, ..., In) является некритическим для отображения df, то в этих точках матрица (d2f/dx/dxk) имеет ненулевой определитель, что и означает невырожденность соответствующих критических точек функции f=f—2hx/¦ Множество некритических значений отображения df открыто. Поэтому добавление к / подходящей малой линейной функции не выводит ее из класса функций, имеющих невырожденные критические точки, и позволяет добиться того, чтобы ее критические значения стали попарно различными.
Мы снова получили ситуацию, описанную в § 1. Пусть, как_и раньше, Fz = /-1(z)n5p(|z|^80), функция / имеет в шаре Bp несколько критических точек Pi с различными критическими значениями Zi (|z,|'<e0, ї=1, ...,(і), {и,-}—система путей, соединяющих критические значения Zi с некритическим значением Z0 (|z0| = e0) и определяющих в группе гомологий Нп_г (Fza) неособого множества уровня функции / отмеченный набор исчезающих циклов {А,}. Напомним, что последнее означает, что пути Ui являются несамопересекающимися и попарно не имеют общих точек, кроме ТОЧКИ Z0.
Теорема 1. Отмеченный набор исчезающих циклов {А,} образует базис (свободной абелевой) группы Hn^1(F2a) ^ Hn_1 (Vs) гомологий неособого множества уровня особенности f. В частности, количество нем рожденных критических точек функции f § 23 ТОПОЛОГИЯ НЕОСОБОГО МНОЖЕСТВА УРОВНЯ
27
в В п /-1 (Dsa) (на которые распадается критическая точка О функции }) равно кратности ц (/) особенности /. Группы Hk (Fza) являются нулевыми при кф(п—1)-_ __
Доказательство. Пусть X=Bp л f~l(DSa), X=Bp Л (D8o), где р > 0 и є0 > 0 описаны выше. Покажем, что пространство А является стягиваемым.
Из того, что множество T1(O) нулевого уровня функции / трансверсально к сферам Sr радиуса г ^ р с центром в нуле в пространстве С", немедленно вытекает, что множество /-1(0)л Bp гомеоморфно конусу над многообразием f'1 (0) П Sp и, следовательно, стягиваемо. Стягивание множества /-1 (O)O-Sp в точку 0, принадлежащую ему, можно осуществить с помощью векторного поля на нем, ортогонального к подмногообразиям ^1(O)CiSr, г ^p (напомним, что множество /~1 (0) П Bp является многообразием всюду, кроме нуля). _
В свою очередь пространство /-1 (0) л Bp является деформационным ретрактом пространства X = /-1 (D8o) Л Bp. Построить требуемую деформационную ретракцию пространства X можно, например, следующим образом. Выберем последовательность р = = Го > ri > г2- • * > 01 монотонно стремящуюся к нулю. Пусть Bi— такие числа, что є0 > B1 > є2> . .. > 0 и множество уровня /-1(е) трансверсально к сфере Sr радиуса rf с центром в нуле при
І є I ^ E1-. Функция / определяет локально тривиальные, а следовательно, и тривиальные расслоения Ei = (Ds) Л (ВГо—Br)—^D8;.
При этом тривиализации этих расслоений могут быть выбраны так, что они будут совпадать на пересечениях Ei Л -E1-I = Ґ1 (De) П
Л(ВГа — Рассмотрим деформацию gt диска D8o, определен-
ную при O^ t ^e0 и задаваемую формулой
при U\>
при
gt (X) = ^
Отображение gt переводит диск Deo радиуса є0 в диск радиуса t, оставляя последний неподвижным. Отображение g0 является деформационной ретракцией диска Deo в точку 0. Поскольку функция / определяет локально тривиальные расслоения /_1(Deo—0) f] Bra—»• —»D?o—0, то существует _семейство Gt (0 < t ^s0) отображений множества X = /-1 (Deo) Л Bra в себя, поднимающее гомотопию gt„. Это семейство можно выбрать согласованным со структурой прямого произведения на множествах Ei = /-1 (Ds,) Л (Br, — Br,) при
