Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема 11. Индексы пересечений циклов Ai7 даются следующими формулами:
(Ai7ioAi7,)= Sgn U2-Ur (-\)пт+П-^ (AloA-J1) при иФи,
т (т — 1)
(Aij0Aiw)-Sgn (I2-I1)" (—l)"m+" (Ai1O Aj2) при ігфі2,
(AlJ1OAiv2) = О при (i2 I1) (/,—А) < О, (Ki^Ki)=sgn (I2-I1) (—і)»»(AilOAi2) (А;,ОА;-2)
при (i2—11) (j2 — J1) > 0.
Этот результат получен А. М. Габриэловым в [36]. Кроме того, там доказано следующее утверждение.
Теорема 12. Циклы Aif являются исчезающими и образуют отмеченный базис в группе Hnjrm^1 (Ve (/©g)) гомологий неособого многообразия уровня особенности /©g. При этом подразумевается, что они упорядочены лексикографически, т. е. цикл Aiift предшествует циклу Aiifi, если I1 < I2 или I1 = I2, J1 < /2.
Теорема 10 является обобщением уже упоминавшегося результата М. Себастьяни и Р. Тома ([215]), описывающего оператор классической монодромии К <f ® S) особенности f © g.
Теорема 13. /г* = Я«>
Эта теорема является непосредственным следствием теоремы 10 и соотношения K = (—1)" Var (Var-1)2" (теорема 5 п. 2.3). Наоборот, теорема 10—следствие теорем 13, 12, соотношения К — = (—1)" Var (Var-1)r и теоремы 7 (п. 2.5), утверждающей, что матрица оператора классической монодромии особенности в отмеченном базисе определяет матрицу ее оператора вариации.
Теоремы 11 и 12 дают следующее описание диаграммы Дын-кина особенности /©g (определение см. в следующем пункте). 46
ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ СТРОЕНИЕ
[ГЛ. I
Множество ее вершин совпадает с прямым произведением множеств вершин диаграмм, соответствующих особенностям fag. Две вершины (I1, J1) и (г2, /2) соединены между собой:
1) ребром той же кратности, что и вершины j1 и /2 во второй диаграмме, если I1 = I2',
2) ребром той же кратности, что и вершины I1 и г3 в первой диаграмме, если J1 = /2;
3) ребром кратностей, равной взятому со знаком минус произведению кратности ребер, соединяющих вершины I1 и Ia в первой диаграмме и J1 и /2—во второй диаграмме, если (t2—h)(j2—J1) > 0.
Если (i2—I1) (/2—Z1XO1 то вершины (I1, j1) и (і2, /2) не соединены между собой.
2.8. Стабилизация особенностей. Пусть /: (С4, 0)—>-(€, 0) — росток голоморфной функции, имеющий в нуле изолированную критическую точку.
т
Определение. Росток, функции f(x)-\- 2 у) ((Сп+т, 0)—S-
/= 1
—> (С, 0)) называется стабилизацией ростка /.
Кратность особенности совпадает с кратностью ее стабилизации. Действительно, если /—шевеление особенности f, рассыпающее ее нулевую критическую точку на р, невырожденных, то
f (х) + 2 У/ — шевеление ее стабилизации, обладающее тем же / = і
_ т
свойством. При этом фуькции f (х) и f (х) + ^ y'j имеют одина-
•/ = 1
ковые множества критических значений. Связь матрицы пересечений особенности с матрицей пересечений ее стабилизации дается следующей теоремой, которая является частным случаем теоремы 11.
Теорема 14. Пусть {А(-}— отмеченный базис исчезающих циклов в гомологиях неособого многообразия уровня особенности f(x). Существует такой отмеченный базис {А,-} особенности f (х) +
т
+ 2 что матрица пересечений его элементов определяется і-і
соотношением
т(т—1)
(Ai о Aj) = [sgn(/—i)]" (-if о Ay).
При этом отмеченные базисы -JA,-} и {/Лг-} соответствуют одинаковым наборам путей, соединяющих критические значения
т
шевелений f (х) и f (х) + 2 yf с некритическим значением.
/ = I
Из теоремы 14 следует, что матрицы пересечений стабилизаций особенности определяют друг друга. Кроме того, при т = 0 mod 4 индексы пересечений (Ai о Ay-) и (А,- о Aj) для всех і и / совпадают, а при m = 2 mod 4—отличаются знаком. Таким образом, § 23
ТОПОЛОГИЯ НЕОСОБОГО МНОЖЕСТВА УРОВНЯ
47
с каждой особенностью связаны две симметрические и две косо-симметрические билинейные формы (формы пересечений ее стаби-лизаций). При этом симметрические (и кососимметрические) формы отличаются только знаком. С каждой особенностью связаны также две группы преобразований целочисленной решетки Zfi (группы монодромии ее стабилизаций). Оператор классической монодромии особенности / (х) совпадает с оператором классической монодромии
т
ее стабилизации / (х) + 2 У) при четном m и отличается от него
S = 1
знаком при нечетном.
Теорема 14 позволяет при формулировке результатов о матрице пересечений особенностей ограничиваться случаем размерностей, имеющих фиксированный вычет по модулю четыре. В большинстве случаев удобно бывает считать, что количество переменных сравнимо, с тремя по модулю четыре.
Определение. Квадратичной формой особенности называется квадратичная форма, определенная индексом пересечения в гомологиях неособого многообразия уровня ее стабилизации с количеством переменных N = 3 mod 4.
Для этой стабилизации индексы самопересечения исчезающих циклов (А,- о Ai) равны (—2), а операторы Пикара—Лефшеца действуют в группе гомологий неособого многообразия уровня по формуле Iii (fl) = a-|-(flo A1-) A1.. Отсюда видно, что Hi (Ai.) = — Ai- и что преобразование Hi является отражением в гиперплоскости, ортогональной к вектору Ai-. Ортогональность понимается в смысле скалярного произведения, определяемого квадратичной формой особенности. Таким образом, соответствующая группа монодромии является группой, порожденной отражениями. Такие группы (или соответствующие квадратичные формы, которые их определяют) удобно описывать с помощью некоторого графа.
