Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
хт -- к+У^Т0 exp ( ^+Д ) (от = 0, 1, k). Если, кроме
того, пройти в плоскости значений в отрицательном направлении (по часовой стрелке) от точки Z0 к точке z'0~ — Z0, то точки Xm перейдут в точки
WV^exp (-^+1M (т = 0, 1.....А).
Мы приходим к следующему результату:
Теорема 15. Ha многообразии уровня V1 = Ix: xA+1=l} особенности /(X) = X*+1 отмеченный базис образуют исчезающие циклы ^ A1 == I1--I2, A2 = C2-L. • • А* =='?*—Sa+i. где S/ = = exp ^—~ —корни (k + 1)-й степени из единицы (/ = 1, ... 50
ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ СТРОЕНИЕ
[ГЛ. I
..., (& + 1)). Индексы пересечений этих циклов даются формулами (Ay- о Ay) = 2, (Ay о А/+1) = —1, (А, о А,;) = 0 при |/ — /'(>2.
Первые вычисления формы пересечения и оператора классической монодромии для функдии нескольких переменных были
п
проделаны Ф. Фамом ([94]) для особенности вида / (х) = 2 xIk
k=i
п
(ак ^ 2). Кратность этой особенности равна JJ (ak—1). Ф. Фам
к-і
доказал, что в группе Нп_1 (Ve) гомологий неособого множества уровня функции / существует такой базис е,-(0^ik ^ak— 2)
' п і \ \ TLiKkJe)' что
(еСі... іп ° а,... U = (-1)^^(1+(-1)"-1);
п(П-1) 2 ('b~'k)
(ЄН...In о Є/, .../„) = (-1) 2 (-1)&
если ffe^/fe^ffe + l Для всех k. В остальных случаях (кроме получающегося из предыдущего перестановкой циклов) = 0.
Результат Ф. Фама может быть получен из теоремы 11 (п.2.7).
п
Применение ее к особенности / (х) = 2 xIk дает ту же матрицу
к =¦ 1
пересечений, что и у Ф. Фама, если в качестве отмеченного базиса особенности fk (xk) = хакь использовать базис, описанный в теореме 15. Для особенности fk (xk) = Xak* положим є = 1,
u(t) = (l — t), H (t) xk = Y(T=T)xk. Последовательное применение конструкции, описанной в п. 2.7, к отмеченным базисам особенностей fk(xk)' Даваемым теоремой 15, приводит, как нетрудно убедиться, к базису, построенному Ф. Фамом в [94]. Мы получаем следующий результат.
Утверждение. Базис Ф. Фама является отмеченным относительно лексикографического упорядочения его элементов.
Это значит, что D-диаграмма особенности Ф. Фама имеет вид, изображенный на рис. 24 (« = 2, ах = 6, а2 = 5).
§ 3. Бифуркационные диаграммы и группа монодромии особенности
Характеристики особенности, рассматривавшиеся в § 2 (кратность особенности, ее матрица пересечений, группа монодромии, ...), связаны с такими объектами, как бифуркационные
в обозначениях Ф. Фама е^ .,.;„ =
?-5 у у У У / >.....) У У У У / > ¦ ; г< У г { ) я У / У У У
У У * У У ? У У / У f , * J У У / у У У У S У У f J
г Л У У У У У ' / / У У У с У У У У / у-- U У У У У У
Рис. 24. БИФУРКАЦИОННЫЕ ДИАГРАММЫ
51
диаграммы нулей и функций особенности, ее разрешение, ее полярные кривые. Некоторые из этих связей будут изложены в этом параграфе.
3.1. Бифуркационные диаграммы особенности. Для того, чтобы определить бифуркационные диаграммы особенности, напомним определение ее версальной деформации (более подробное изложение см. в ОДО-1, § 8).
Определение. Деформацией особенности /: (С, 0) —> (С, 0) называется такой росток голоморфной функции F (х, v) (v g C1 F: (С"©С, 0) —(С, 0)), что F(x,0) = f(x).
Пространство C1 называется пространством параметров или базой деформации F.
Определение. Деформация F {х, v) особенности / называется версальной, если любая деформация G (х, tj) (r\ ? Cm) особенности / (G (х, 0) =/(х)) «эквивалентна деформации, индуцированной из F», т. е. существует аналитическое отображение ф: (Cm, 0)—*(Сг, 0) пространства параметров и аналитическое семейство g (х, v) (g: (С»©С"\ 0) — (С", 0), g (¦, 0) = id: С" —» С") локальных замен координат такие, что G (х, v) = F (g (х, v), ty(v)).
Размерность I базы C1 версальной деформации F (х, v) не меньше кратности р. особенности 0. Существует (и единственна в естественном смысле) версальная деформация особенности / с базой, размерность которой в точности равна р,. Эта деформация называется миниве реальной.
Миниверсальная деформация F (х, v) особенности / может быть построена следующим образом. В п. 2.1 указывалось, что фактор-кольцо кольца „б ростков голоморфных функций (С", 0) —* (С, 0) по идеалу, порожденному частными производными функции / (якобиеву идеалу), как комплексное векторное пространство имеет размерность, равную кратности р, особенности /. Пусть ростки функций Cpi-: (€",0)-+(0,0) (г = 0, 1, ..., р,— 1) порождают базис
H-I
этого пространства. Тогда деформация F (х, v) = /(x)+S vWiix)
і = 0
является миниверсальной (v = (V01V1, ...,V1^1)). В качестве ср0 может быть взят росток функции, тождественно равной единице.
Пусть F (х, v)—миниверсальная деформация особенности f (v^O), №v = {x? С": F (х, v) = 0, jjxf^p}—множество нулевого уровня функции F (¦, v). Поскольку F (х, 0) = f(x), множество {х?С": f ix) = 0} трансверсально к сфере Sp достаточно малого радиуса р, то существует такое є > 0, что при flvfl^e множество {х?Сп: F (х, v) = 0{- трансверсально к сфере Sp. Отсюда следует, что если множество Wy неособо, то оно диффеоморфно неособому множеству уровня функции / вблизи критической точки. Множество тех значений параметра v, для которых Wv особо, образует множество (комплексной) коразмерности один.
