Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
Примеры. 1) Миниверсальная деформация особенности A2 (/(х)=х3) может быть выбрана в виде F (х; X1, X2) = х3 + А1х + А,2! Локальное нулевое множество уровня функции F (¦; X1, X2) не имеет особенностей, если многочлен x3 + X1x + X2 не имеет кратных корней. Поэтому бифуркационная диаграмма нулей S состоит из тех значений (A11A12)^C2, для которых многочлен JC3 + X1X + A2 имеет вид (х—а)2 (х—Ъ), где 2а-\-Ь = 0. Имеем X1 = Zab +а* = — За2, X2 = —- а2Ь = 2аъ. Следовательно, бифуркационная диаграмма S
27
описывается уравнением Af+-jA| = 0. Она (точнее, конечно,— ее
вещественная часть) изображена на рис. 25.
2) Миниверсальная деформация особенности A3 (/ (х) = xі) может быть выбрана в виде F(x; X1, X2, A3) = х4 + X1x2 + Х2х +X3. Локально е множество уровня функции F (¦; A1, X3, A3) не имеет особен-
корней. Поэтому буфуркационная диаграмма нулей S состоит из тех значений (A1, A2, A3) ? C3 для которых многочлен x4 + A1X2 + +A2X +A3 имеет вид (х—а)2(х—Ь)(х—-с), где 2а + 6+с = 0. Бифуркационная диаграмма S носит название «ласточкина хвоста». Она изображена на рис. 26.
Топологический тип пары (De, Se) (Ds = {v ? є}—шар
радиуса є в базе миниверсальной деформации F) не зависит от s для достаточно малых є и не зависит от выбора миниверсальной деформации особенности f. Пространство (De—Se) (открытое подпространство шара De) является базой локально тривиального расслоения !ИКр, II V К є, v<?Se, F(x, v) = 0} — -+Ds—S8 с проекцией (х, v) і—>v. Слой Wv = {х? C":F (х, v) = 0} этого расслоения диффеоморфен неособому множеству уровня особенности /.
Как во всяком расслоении, фундаментальная группа его базы действует в гомологиях слоя. Таким образом, имеется естественное представление
Jt1 (De-S8) = (DB-2B, V) AutH^1 (Wv) = Aut Нп_г(Vi). §3]
бифуркационные диаграммы
53
Теорема 1. Образ представления Jt1 (De—S8)•—>- AutНп_1 (Vx) фундаментальной группы дополнения к бифуркационной диаграмме нулей особенности f в гомологиях неособого многообразия уровня совпадает с группой монодромии особенности /.
Для доказательства надо выбрать миниверсальную деформацию F (х, v) особенности / в виде F0 (х, v')—v0, где V'6 О"1, V0 ? С, v = (v0, v'). В качестве шевеления /ц (х) особенности / можно взять шевеление вида F0(х, v' (X)). Пусть р—естественная проекция базы Cfi миниверсальной деформации в пространство О-1, переводящая v = (v0, v') в v'. Если fx(x)—морсовская функция (X достаточно мало), то прямая L = р-1 (v'(А)) находится в общем положении с многообразием S8. Прямая L пересекается с бифуркационной диаграммой Se в таких точках (v0, v' (X)) gO, для которых V0 является критическим значением функции fx (х). Количество таких точек равно кратности \i(f) особенности f. Пространство L\S8 совпадает с дополнением к множеству критических значений функции fx. Ограничение расслоения \(х, v):v<?Se, F (х, v) = 0 }—+Ds—S8, описанного вьшіе, на L\Se совпадает с расслоением неособых многообразий уровня функции fx над дополнением к множеству ее критических значений. Отсюда следует, что естественное представление Jt1(LXSe)—>- Aut Нп_х (Vx), образом которого является группа монодромии особенности /, пропускается через фундаментальную группу дополнения к бифуркационной диаграмме:
я, (LXSe) Л я, (D8-Ss) Aut Нп_х (VO,
где Lt—гомоморфизм фундаментальных групп, индуцированный вложением L\Sec*De—Se. Из того, что прямая L находится в общем положении с многообразием Se, выводится, что гомоморфизм im: Jt1 (L4vSf.)—>- Jt1 (De—Se) является эпиморфизмом. Отсюда следует, что образ представления nx(Ds—Ss)—>- Aut Нп_х (Vx) совпадает с группой монодромии особенности f.
То, что гомоморфизм /«: Jt1 (L\SE)—^n1 (De—Se) эпиморфен, является вариантом теоремы Зариского ([239]), состоящей в следующем. Пусть M— неособая аффинная алгебраическая гиперповерхность в пространстве С", L—(комплексная) прямая общего положения в пространстве С". Такая прямая трансверсально пересекается с гиперповерхностью M в т точках рх, . .., рт. Теорема Зариского утверждает, в частности, что для прямой L общего положения гомоморфизм фундаментальных групп г»: я1^\М)—Ort1 (С—М), индуцированный вложением/: L\M —>-—> Cn—М, является эпиморфизмом. Фундаментальная группа яг (L\M) = Ti1 (L—\Рі\) прямой с т выколотыми точками является свободной группой, порожденной т образующими. В качестве этих образующих могут быть взяты простые петли, соответствующие системе непересекающихся путей на комплексной прямой L, соединяющих точки Pi с базисной точкой p0?L\M. Таким образом, 54
топологическое строение
[гл. i
фундаментальная группа дополнения к гиперповерхности M является группой, порожденной т описанными образующими.
Теорема Зариского описывает также все соотношения между образующими. Для того, чтобы это сделать, рассмотрим проекцию я: С"—> С-1 пространства C4 вдоль прямой L и ее ограничение л \M: M —у С"-1 на гиперповерхность М. Общность положения прямой L позволяет, в частности, предполагать, что дискриминант-ное множество отображения я \м (образ множества его критических точек) является приведенной гиперповерхностью в пространстве С"-1. Более подробно это означает следующее. Замыкание множества критических значений отображения я [^j является комплексной гиперповерхностью N в пространстве С"-1. Если q € С"-1—N, то прообраз я I~xM(q) состоит из т точек, в каждой из которых дифференциал отображения я \м невырожден. Во всех неособых точках гиперповерхности N, за исключением множества коразмерности 1, сливаются две точки прообраза. Около такой точки гиперповерхность M может быть локально задана уравнением *о+-*а = 0> гДе Проекция Я переводит точку (х0, X1, . . . , Хп_]) ? С" в (X1, ..., xn_j) € С"-1, N локально задается в пространстве С"-1 уравнением X1 = O. Пусть ^0 € С"-1—N-образ прямой L при проекции я, L1 — прямая общего положения в пространстве Cn-1, проходящая через точку q0. Можно предполагать, что прямая L1 пересекает гиперповерхность N только в неособых точках, в которых сливаются две точки из прообраза я (q), причем все эти пересечения трансверсальны. В этом случае я-1 (L1) является неособой кривой в двумерном комплексном пространстве я-1 (L1)HM, а я j (Lt) п м- я-1 (L1) П M —у L1— m-листным разветвленным накрытием над прямой L1. Пусть qx, ..., qk—точки пересечения прямой L1 с дискриминантным множеством N, т—произвольная петля в пространстве L1 — (^1, . .., qh} с началом и концом в точке qu. Обходу петли т соответствует гомеоморфизм Tx пары пространств (я-1 (<70), я-1 (<70)ПМ.) = (L, L{\M) самой на себя, определенный, конечно, с точностью до изотопии. Этот гомеоморфизм индуцирует преобразование Txr: (L\M)—^n1 (L\M) фундаментальной группы прямой с т выколотыми точками L\M в себя. Очевидно, что если a?n1(L\M), то t'4a = i,TT,a, где і(L\M)—(C" — М). Теорема Зариского утверждает, что гомоморфизм яг (я-1 (L1)XM) — —>¦ ях (C"—М), индуцированный вложением, является изоморфизмом, а соотношения описанного вида порождают все соотношения между образующими фундаментальной группы я1(Сл—М). Естественно, что в качестве образующих системы соотношений могут быть взяты соотношения i,a = IstTx^a для системы {х-1г простых петель, соответствующих системе непересекающихся путей, соединяющих точки qx, ..., qk с точкой q6. Отсюда следует, что группа ях (С—М) является группой с т образующими и ink соотношениями. §3]
