Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
Сделаем небольшое отступление с целью напомнить некоторые определения.
Пусть M—ориентированное (вещественное) n-мерное многообразие с краем дМ, е1У ...,еп_1 — репер в касательном пространстве к краю дМ в некоторой точке, е0—внешняя нормаль к краю дМ в многообразии M в этой же точке. Говорят, что репер ех, ... . .., еп_х определяет ориентацию края дМ, если репер е0, е1У... • • •, ё„-х является положительно ориентированным репером в касательном пространстве к многообразию М. Аналогичное соглашение имеет место для цепей и их границ.
Пусть а и б—непересекающиеся (п—1)-мерные циклы в (2п—1)-мерной сфере S2'1-1. При п = 1 будем дополнительно предпола-лагать, что циклы а и Ъ гомологичны нулю. При п > 1 это условие выполняется автоматически. Выберем в сфере S2n^1 я-мерную цепь Л, граница которой совпадает с циклом а. Легко видеть, что индекс пересечения (Aob) цепей А и b в сфере S2"-1 (который определен, поскольку граница цепи А, равная а, не пересекается с циклом Ь) не зависит от выбора цепи А. Действительно, если А'—другая такая цепь, то разность (А—А') будет абсолютным n-мерным циклом в сфере S2""1, откуда ((А—Л')об) = 0, т. е. (Лоб) = (A'ob). Индекс пересечения (Лоб) цепей Anb называется коэффициентом зацепления циклов а и б и обозначается / (а, б).
Другой способ вычисления коэффициента зацепления состоит в следующем. Пусть D2"—шар, границей которого является сфера San-1. Выберем две n-мерные цепи Л и В в шаре D2", границы которых совпадают с циклами а и б соответственно и которые целиком лежат внутри шара D2", за исключением своих границ. В этом случае имеет смысл индекс пересечения (AoB)d цепей
Л и В в шаре D2n и I (a, b) = (Aob)s = (—\)п (AoB)d=(BoA)d= = (—1)4 (Ь, а).
Чтобы доказать это утверждение, надо заметить, что индекс пересечения (AoB)d корректно определен, т. е. не зависит от конкретного выбора цепей Л и В, для которых дА = а, дВ = Ь. Шар D2n можно рассматривать как конус над сферой Ssn"1, т. е. как факторпространство произведения [0, IjxS2"-1 отрезка [0, 1] на сферу S3n~1 по подпространству {0} xS2"""1 (слоям {^xS2"-1 (0 ^ t 1) соответствуют в шаре концентрические сферы радиуса t). После этого в качестве цепи В можно взять конус над циклом б с вершиной в центре шара D2n (? = [0, l]xb/{0}x6),§ 23
ТОПОЛОГИЯ НЕОСОБОГО МНОЖЕСТВА УРОВНЯ
33
а в качестве цепи A—объединение цилиндра [1/2, 1]ха над циклом а и цепи {1/2} X А, лежащей на сфере {1/2} хS2n-1 радиуса 1/2 (Л crS2n-1, дЛ = а; для п = 1 см. рис. 17). В этом случае цепи A и В будут пересекаться в точках вида (1/2, х), где х—точка пересечения цепи А с циклом Ь. Знак, кото- ^
рым отличаются соответствующие индексы / N. -
пересечения, может быть несложно вычислен. DuL- ,.-'" \
Вернемся к рассмотрению особенности /. ( ' A Пусть а и Ъ — (п — 1)-мерные циклы в слое s*"-\ / XyuzА / / ф-1(1) расслоения Ф: Sjf-1X T — S1. Цикл Т\У/
Гі/2*Ь лежит в слое Ф-1 (—1) и поэтому не пересекается с циклом а. Следовательно, име- ри°с (7
ет смысл коэффициент зацепления циклов
а и Гі/2*Ь как циклов, лежащих в (2п—1)-мерной сфере.
On ределение. Формой Зейферта особенности / называется билинейная форма L на группе гомологий Нп_1(Ф~1(1)) (SiHn^1(Vs)), определяемая формулой L(a, b) = l(a, Г1/2.&), где а, Ъ ? ЯП_1(Ф_1(1)).
Теорема двойственности Александера утверждает, что коэффициент зацепления определяет двойственность групп гомологий #„_1 (Ф-1 (1)) и Hn_l (S2"-1—Ф-1 (1)). Нетрудно видеть, что слой ф-1(—1) является деформационным ретрактом пространства S2"-1—Ф-1(1). Следовательно, группа гомологий Hn_1(S2n~1— — Ф~1(1)) изоморфна группе Нп_1(Ф~1(—1)). Так как преобразование Гі/2* является изоморфизмом групп гомологий Hn^1(O-lH)) и Hn-I (Ф^і—1)). то форма Зейферта определяет двойственность группы гомологий Нп_1 (Ф-1 (1)) самой себе, т. е. является невырожденной целочисленной билинейной формой с определителем, равным (± 1). Заметим, что форма Зейферта L, вообще говоря, не обладает свойством симметрии.
Пусть Ф_1(1)) и а€Я„_г(Ф-1(1), аФ-^І)) —абсолют-
ный и относительный по модулю края классы гомологий.
Лемма 3. L (Vary- а, Ь) = (а о Ь).
Доказательство. Выберем относительный.^—1)-мерный цикл в паре (Ф-1(1), дФ_1(1)), являющийся представителем класса гомологий а (его мы также будем обозначать через а). Рассмотрим отображение [О, 1]ха-—^S2"-1 цилиндра над циклом а в сферу, переводящее (t, с) ? [0, 1]ха в Г4(с) ? S2"-1. При таком отображении нижнее основание {0}ха цилиндра [0, Ilxa переходит в цепь а, верхнее основание {1}ха — в цепь rta, [0, 1]хда отображается в границу дТ трубчатой окрестности многообразия К-Поэтому это отображение определяет n-мерную цепь в сфере S2n-1 (его образ), граница которой состоит из двух частей: вариации VarfCt = Tja—а цикла а (лежащей в слое Ф-1(1)) и цикла, лежащего на дТ. Затягивая вторую часть ее границы внутри трубчатой окрестности T по радиусам, мы получаем цепь А в сфере S2"-1, граница которой лежит в слое Ф-1 (l)t=S2rl_1 и равна Varf(a).
2 В. и. Арнольд и др.34
ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ СТРОЕНИЕ