Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
п (п-1)
в точке 0. Отсюда следует, что (AoB)d = (—1) 2 . Поэтому
п (п + 1) п (п + 1)
(Var-1 AoA) = (— 1) 2 ,т.е. Var-1A = (^l) ~ v, VarV =
п (П+1)
= (— 1) 2 А, что и требовалось доказать.
2.5. Матрица пересечений особенности. Как уже говорилось, группа монодромии особенности порождена операторами Пикара — Лефшеца h(, соответствующими элементам A1- слабо отмеченного базиса в гомологиях неособого множества уровня особенности f вблизи критической точки. По теореме Пикара—Лефшеца имеем
п (п+1)
Zii-(а) = а +(—1) 2 (аоАг-)А(.. Таким образом, матрица попарных пересечений элементов слабо отмеченного базиса определяет группу монодромии особенности.
Определение. Матрица 5 = (Ai- о А;) называется матрицей пересечений особенности f (в базисе {А,-}).
Замечание. Здесь мы считаем і номером столбца, а / — номером строки. Такая запись матрицы билинейной формы совпадает с ее записью как матрицы оператора (в данном случае— из пространства гомологий Нп_1 (Ve) в двойственное пространство Hn-1 (Ve, dVe) в базисах -{А,-} и двойственном к нему ((Ai- о Д .) = = (г*Ai- о Ay)).
Определение. Билинейной формой, ассоциированной с особенностью /, называется целочисленная билинейная форма, определенная на группе Нп_1 (Ve) гомологий неособого множества уровня особенности / индексом пересечения.
Билинейная форма, ассоциированная с особенностью, симметрична при нечетном числе переменных п и кососимметрична при четном. Матрица пересечений особенности является матрицей этой формы в базисе -{А,-}. Диагональные элементы матрицы пересечений определяются леммой 4 п.
Рис- 18. 2.3 и равны О при четном п и ±2 —
при" нечетном.
Если /—шевеление функции /, {Аг.}—отмеченный базис исчезающих циклов, определяемый системой путей U1, ..., Um,, то петля т', обходящая в положительном направлении все критические значения, на которые распадается нулевое критическое значение функции /, гомотопна произведению Tfi- ... T1 простых петель, § 23 ТОПОЛОГИЯ НЕОСОБОГО МНОЖЕСТВА УРОВНЯ
37
соответствующих путям Uil, ..., U1 (рис. 18). Отсюда вытекает
Лемма 4. Оператор /г» классической монодромии особенности f равен произведению H1- ... Iill операторов ПикараJlефшеца, соответствующих элементам Aj- отмеченного базиса в гомологиях неособого многообразия уровня.
Действие оператора вариации особенности / может быть определено по формулам
Vaiy=Varv ... .Tl = д
= 2! S varT1- • і*• varT -і,- ... • і,-varT,
r=l it<lt< ... <ir " '» ^
varT1- (a) = (- 1 (a о A1-) A1- (а Є Hn_t (VE, dVE)).
Выберем в группе Hn_1(Vs> dVe), являющейся двойственной к группе #„_! (Ve), базис {V,-}-, двойственный к базису {А,-}, т. е. такой, что (V,-о A,) = 6j7. Из формул (*) следует, что Var/ (V1-)==
п (п+1)
= (—1) 2 A1-+ 2 c'i&j, где Cii—некоторые целые числа. Тем
/ < і
самым нами доказана
Лемма 5. В отмеченном базисе матрица оператора вариации Vary- особенности f является верхней треугольной матрицей с диа-
п (д-и)
гональньши элементами, равными (— 1) 2
Теми же свойствами обладает и матрица оператора VarJ1, которая по теореме 3 совпадает с матрицей формы Зейферта L особенности f (см. замечание в начале пункта, определяющее матричную запись билинейных форм).
Пусть 5—матрица пересечений особенности / в каком-нибудь базисе, L-—матрица формы Зейферта (или оператора Var-1) этой особенности в том же базисе, H—матрица оператора классической монодромии /і«, Н{г)—матрица оператора MP в двойственном базисе. Теоремы 4, 5 и 6 означают, что S = — L + (—1 )nLT, N = = (—1)" L-1Lt, //"¦> = (—XyLrL'1 (значок Т означает транспонированную матрицу). Если {А,}—отмеченный базис исчезающих циклов, то в нем матрица L является верхней треугольной, а матрица Lt—нижней треугольной. Таким образом, в отмеченном базисе имеет инвариантный смысл разложение матрицы пересечений в сумму верхней треугольной и нижней треугольной матриц.
Выше говорилось, что матрица пересечений особенности в отмеченном базисе определяет ее оператор классической монодромии (в том же базисе). Имеет место и обратное утверждение. Прежде чем его доказать, сформулируем одно полезное общее утверждение.
Лемма 6. Пусть А и В—верхние треугольные матрицы с единицами на диагонали, C = A-Bt. Тозда матрицы AuB восстанавливаются по матрице С. 38
ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ СТРОЕНИЕ
[ГЛ. I
Следующая формулировка этого утверждения эквивалентна исходной.
Лемма 7. Пусть А и В—верхние треугольные матрицы с единицами на диагонали. Если ABt—единичная матрица, то А и В—тоже единичные.
Доказательство этой леммы не представляет труда.
Теорема 7 ([174]). Матрица оператора классической монодромии особенности в отмеченном базисе определяет ее оператор вариации и матрицу пересечений.
Доказательство получается применением леммы б к равенству
п (П + 1)
# = (—1)" L-1Lr1 L = (—I) 2 L, в котором L и L-1 — верхние треугольные матрицы с единицами на диагонали.
2.6. Замены базиса. Система путей {«,-}-, определяющая отмеченный или слабо отмеченный базис, может быть выбрана неоднозначно. Меняя исходную систему путей, можно получать разные базисы из исчезающих циклов в группе Нп_1 (Ve) гомологий неособого множества уровня особенности вблизи критической точки. Мы опишем некоторые элементарные операции замены базиса, сохраняющие его отмеченность или слабую отмеченность.
